递归算法以及其复杂度（算法面试基础）

递归算法简介

递归算法是一种直接或者间接调用自身函数或者方法的算法。说简单了就是程序自身的调用。
其实质就是将原问题不断分解为规模缩小的子问题，然后递归调用方法来表示问题的解。（用同一个方法去解决规模不同的问题）

递归算法思想

递去：将递归问题分解为若干个规模较小，与原问题形式相同的子问题，这些子问题可以用相同的解题思路来解决
归来：当你将问题不断缩小规模递去的时候，必须有一个明确的结束递去的临界点（递归出口），一旦达到这个临界点即就从该点原路返回到原点，最终问题得到解决。

设计要点

递归思维是一种从下向上的思维方式，使用递归算法往往可以简化我们的代码，而且还帮我们解决了很复杂的问题。递归算法的难点就在于它的逻辑性，一般设计递归算法需要考虑以下几点:

明确递归的终止条件（递归出口）
提取重复的逻辑，缩小问题的规模不断递去
给出递归终止时的处理办法

自然数数列

以自然数列为例。
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ....... n
求第n个数字。很显然这个数列的规律是后一项等于前一项加一，即n = n + 1 。函数表达式为：

f（n）= f(n-1) + 1
f (1) = 1 //递归出口
所以递归函数可以写为

int f(int n) {
	if (n == 1) {
		return 1;
	}
	else {
		return f(n - 1) + 1;
	}
}

Fibonacci(斐波那契数列)

1,1,2,3,5,8,13,21,34.......
将其转换为函数表达式

f(n) = f(n-1) + f(n-2)
f(1) = 1
f(2) = 1 //因为确定这个数列需要两个初值,所以需要设定两个递归出口
递归函数写为

int f1(int n) {
	if (n == 1) {
		return 1;
	}
	else if(n == 2) {
		return 1;
	}
	else {
		return f1(n - 1) + f1(n - 2);
	}

}

利用递归使代码更有效率（减小时间复杂度O）

比如求x的n次方，比较容易想到利用循环

int function1(int x, int n) {
    int result = 1;  // 注意 任何数的0次方等于1
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        result = result * x;
    }
    return result;
}

时间复杂度为O(n)
利用递归呢？

int function2(int n, int x) {
	if (n == 0) {
		return 1;
	}
	else {
		return function2(n - 1, x) * x;
	}
}

每次进行了一个乘法操作，乘法操作的时间复杂度一个常数项O(1)，所以这份代码的时间复杂度是 n × 1 = O(n)。
进行改进

int function3(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 1) {
        return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2)*x;  //n为奇数时
    }
    return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2);   //n为偶数时
}

由于有重复计算的部分，时间复杂度依旧是O(n)。
再次进行改进

int function4(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    int t = function4(x, n / 2);// 这里相对于function3，是把这个递归操作抽取出来。如果n为奇数时，比如5，n/2 = 2.5,由于n设定为整形，舍弃小数部分，n = 2。
    if (n % 2 == 1) {
        return t * t * x;
    }
    return t * t;
}