算法分析-三壶谜题

一.题目需求

有一个充满水的8品脱的水壶和两个空水壶（容积分别是5品脱和3品脱）。
通过将水壶完全倒满水和将水壶的水完全倒空这两种方式，在其中的一个水壶中得到4品脱的水。

二、算法思想

1.算法分析
1.1. 采用的算法思想是将某个时刻水壶中水的数量看作一个状态，用一个长度为3的数组表示。
1.2. 初始状态便为[8,0,0],再拓展他的下一结点的可能结构。
1.3. 若下一结点的结构已经被拓展过了便放弃，若没有拓展过则加入拓展列表（new_list）中。然后递归上述操作。
1.4. 直到拓展列表（new_list）为空或者找到目标为止。

2.思想图解
这里的第一个数就代表着是那个8品脱的瓶子，依次分别是8品脱，5品脱，3品脱。

 

就如图一样，使用广度优先遍历（类似于层次遍历）一次一次递归扩展新的结点，知道找到4品脱的水或者无结点可扩展为止。

三、代码展示
1.创建树节点结构
节点包括两个属性，一个属性是数组类型的，存储当前三个水壶的容量状态，另一个属性是记录它是由哪个结点扩展过来的，以便找到解决路径：

2.实现倒水动作
由于这里只有三个壶，互相倾倒的方案可以枚举出来，所有我就没使用二重嵌套循环，而是使用一层循环：

 

 

这个算法的时间复杂度是O(n^2)。

时间复杂度分析：
2.1. 外层循环有6次，每次循环中都会进行一次内层循环，内层循环最多有6次。所以总共会进行36次循环。
2.2. 在内层循环中，有一个判断语句，用于检查当前的n_list状态是否已经被考虑过。这个判断语句的时间复杂度是O(n)，因为它需要遍历old_list列表。
2.3. 因此，总的时间复杂度是O(6 * 36 * n) = O(n^2)。

3.广度优先遍历
主要算法：使用广度优先遍历算法(层次遍历算法)一次一次递归扩展新的结点，知道找到4品脱的水或者无结点可扩展为止：

这个算法是广度优先遍历（BFS）的实现。它从一个根节点开始，然后访问所有相邻的节点，然后再访问这些节点的相邻节点，以此类推。

这个过程会一直持续到没有更多的节点可以访问为止。

时间复杂度分析：
1. 初始化两个列表 old_list 和 new_list，它们的大小取决于树的宽度。在最坏的情况下，树可能是一个线性结构，即每个节点只有一个子节点。在这种情况下，new_list 的大小将等于树的宽度，即 O(n)，其中 n 是树的节点数。
2. while 循环会执行直到 new_list 为空。在每次迭代中，它会从 new_list 中弹出一个节点，并将其添加到 old_list 中。这个过程的时间复杂度是 O(1)。由于 while 循环会执行 n 次，所以总的时间复杂度是 O(n)。
3. 在每次迭代中，还会调用 pour 函数来处理当前节点的状态。pour 倒水函数的时间复杂度是 O(n^2)，那么总的时间复杂度将是 O(n)*O(n^2)。
综上所述，这个算法的时间复杂度是 O(n^3)。

 

4.实现主函数

5.运行结果
从运行结果可以看出，遍历到第7步即可得到含有4品脱的水壶。

==========结束==========