[NOI2016][BZOJ4652][洛谷P1587]循环之美(杜教筛)

题面

https://www.luogu.com.cn/problem/P1587

题解

前置知识

• 杜教筛 https://www.cnblogs.com/xh092113/p/12291710.html

题目要求所有\(1{\leq}x{\leq}n,1{\leq}y{\leq}m\)形成的\({\frac{x}{y}}\)在k进制下的不同纯循环小数个数。（整数也算）

分析题目，转化条件：纯循环小数相当于\((y,k)=1\)；而所有值重复的\({\frac{x}{y}}\)中，又可以取\((x,y)=1\)的那个作为代表，这样最好统计。

所以相当于求

\[{\sum\limits_{y=1}^{m}}{\sum\limits_{x=1}^{n}}[(y,k)=1][(x,y)=1] \]

\[={\sum\limits_{y=1}^{m}}[(y,k)=1]{\sum\limits_{x=1}^{n}}{\sum\limits_{d|x,d|y}}{\mu(d)} \]

\[={\sum\limits_{y=1}^{m}}[(y,k)=1]{\sum\limits_{d|y}^{1{\leq}d{\leq}min(n,m)}}{\mu(d)}{\lfloor}{\frac{n}{d}}{\rfloor} \]

\[={\sum\limits_{(d,k)=1}^{1{\leq}d{\leq}min(n,m)}}{\mu(d)}{\lfloor}{\frac{n}{d}}{\rfloor}{\sum\limits_{y'=1}^{{\lfloor}{\frac{m}{d}}{\rfloor}}}[(y',k)=1] \]

\({\mu(d)}\)后面的东西已经可以通过数论分块处理了。\({\sum_{y'=1}^{{\lfloor}{\frac{m}{d}}{\rfloor}}}[(y',k)=1]\)这部分，含义是1~\({\lfloor}{\frac{m}{d}}{\rfloor}\)中与k互质的数的个数\(f({\lfloor}{\frac{m}{d}}{\rfloor})\)。由于k小，我们可以预处理\(f(1)\)到\(f(k)\)，然后将\({\lfloor}{\frac{m}{d}}{\rfloor}\)分成k的整数倍和除以k后的余数，就可以\(O(1)\)解决这部分。

剩下的东西就是如何解决\({\sum_{(d,k)=1}^{1{\leq}d{\leq}R}}{\mu(d)}\)，其中R是数论分块后某一块的右端点。

发现所有的R一定在n或m的整除集合中，所以两次杜教筛就可以解决所有的\(sum\mu(R)={\sum_{1{\leq}d{\leq}R}}{\mu(d)}\)。现在的问题是还有一个\((d,k)=1\)的条件。

我们考虑\({\sum_{(d,k){\neq}1}^{1{\leq}d{\leq}R}}{\mu(d)}\)是什么。然后，惊喜地发现：由于k小，所以既满足\((d,k){\neq}1\)，又满足\({\mu(d){\neq}0}\)的数其实不是很多。

用\(dt(R)\)来描述这个和。考虑满足上面一行条件的d和k的gcd，这个gcd只能含有k有的素因子，而且每个次数都不能超过1。但是由于\(k{\leq}2000\)，所以k最多只有4个质因子。所以，这样的gcd最多有15个。然后就可以得出关系式：

\[dt(n)={\sum\limits_{gcd}}{\ }{\sum\limits_{(d,k)=1}^{1{\leq}d{\leq}{\frac{k}{gcd}}}}{\mu(d)} \]

\[={\sum\limits_{gcd}}{\mu(gcd)}(sum\mu({\frac{k}{gcd}})-dt(\frac{k}{gcd})) \]

所有出现在dt后面的下标都是n或m的整除集合中的数，所以计算所有dt的总复杂度是\(O(({\sqrt{n}}+\sqrt{m})w)\)，其中w是不同gcd的个数，本题中\(w{\leq}15\)。

综上，本题的总时间复杂度为\(O(\sqrt{n}w+n^{\frac{2}{3}})\)。

• 本题有多种做法，其他做法见 https://www.luogu.com.cn/problemnew/solution/P1587

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long
#define rg register
#define K 2000
#define T 1000000

ll n,m,k,pn;
ll pri[T+5],smu[T+5];
bool isp[T+5]; 

inline void Eular(){
	smu[1] = 1;
	for(rg ll i = 2;i <= T;i++)isp[i] = 1;
	for(rg ll i = 2;i <= T;i++){
		if(isp[i])pri[++pn] = i,smu[i] = -1;
		for(rg ll j = 1;i * pri[j] <= T;j++){
			isp[i*pri[j]] = 0;
			if(i % pri[j])smu[i*pri[j]] = -smu[i];
			else{
				smu[i*pri[j]] = 0;
				break;
			}
		}
	}
	for(rg ll i = 2;i <= T;i++)smu[i] += smu[i-1];
}

ll f[K+5]; //f[i]表示1~i中与k互质的数的个数 

inline ll gcd(ll a,ll b){
	return b ? gcd(b,a % b) : a;
}

inline ll calc(ll n){ //计算1~i中与k互质的数的个数 
	return (n / k) * f[k] + f[n%k];
}

unordered_map<ll,ll>Hash;

inline ll summu(int n){ //杜教筛 
	if(n <= T)return smu[n];
	if(Hash.count(n))return Hash[n];
	ll ans = 1;
	int L,R = 1;
	while(R < n){
		L = R + 1,R = n / (n / L);
		ans -= 1ll * (R - L + 1) * summu(n / L);
	}
	return Hash[n] = ans;
}

vector<ll>fac;
ll fn,fc[16+5]; //所有k的mu值不等于0的约数(除了1) 

inline void divide(ll n){ //分解k 
	for(rg ll i = 1;i <= pn;i++){
		if(n % pri[i] == 0){
			fac.push_back(pri[i]);
			while(n % pri[i] == 0)n /= pri[i];
		}
		if(n == 1)break;
	}
} 

unordered_map<ll,ll>Dt;

inline ll dt(int n){ //1~n中与k互质的数的\mu值之和 
	if(!n)return 0; 
	if(Dt.count(n))return Dt[n];
	ll ans = 0;
	for(rg ll i = 1;i <= fn;i++)ans += (smu[fc[i]] - smu[fc[i]-1]) * (summu(n/fc[i]) - dt(n/fc[i]));
	return Dt[n] = ans;
}

int main(){
	cin >> n >> m >> k;
	Eular();
	divide(k);
	for(rg ll mask = 1;mask < 1ll << fac.size();mask++){
		ll cur = 1;
		for(rg ll i = 0;i < fac.size();i++)
			if((bool)(mask & (1ll << i)))cur *= fac[i];
		fc[++fn] = cur;
	}
	for(rg ll i = 1;i <= k;i++)f[i] = f[i-1] + (gcd(i,k) == 1);
	ll ans = 0;
	int L,R = 0,limit = min(n,m);
	while(R < limit){
		L = R + 1,R = min(n / (n/L),m / (m/L));
		ans += ((summu(R)-dt(R)) - (summu(L-1)-dt(L-1))) * (n / L) * calc(m / L);
	} 
	cout << ans << endl;
	return 0;
}