最短路径算法

最短路径问题：

对于一个指定的网络（由节点和路径组成的），找出一条路径，使得两结点间的距离最短。

 

迪杰斯特拉算法（Dijkstra）算法：

可以解决带权值的有向无向图（但是这里的权值不能为负）里的单源点最短路径问题（即从指定出发源点，到达途中任意一点的最短路径问题）。

其特点：起始点为中心向外，层层扩张，直到扩张覆盖所有顶点。

其主要思想：

我认为它是用到了贪心策略，贪心算法是一种通过分级处理某些最优解问题的方法。贪心算法，在求解过程的每一步中都采取当前状态下看来是最好或

最优的选择，从而希望最终的结果是最好或最优的。如果一个复杂的问题能够分解成几个子问题来解决，并且子问题的最优解能最终递推到最终问题的

最优解，简言之，如果局部最优解能最终推导出全局最优解，那么贪心算法在解决这类问题时非常有效。

 

转：http://blog.sina.com.cn/s/blog_72fa47290101g4dp.html

 

 迪杰斯特拉算法执行步骤：

设 n 为图 G=(V,E) 中的顶点数，dist[n] 存放从源点到每个终点当前最短路径的长度，path[n] 存放相应路径，S为已求得最短路径的终点的集合，U为V-S,初始为不含有源点的所有顶点。
（1）初始化已求的最短路径的集合S为只含有元素源点a，S=｛a｝。
（2）从U中选取一个距离源点v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值为顶点k的距离加上顶点k到u边上的权。
（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。

 

迪杰斯特拉算法举例说明
（1）有向图如下，以a为源点，求源点a到其他各顶点的最短路径。

 

算法详细步骤如下表：

 

 

步骤	S集合中	U集合中
初始化	选入a，此时s={a} 此时最短路径有a->a=0 以a为中间点，从a开始找	U={b,c,d,e,f} a->b=1 a->c=2 a->e=15 a->其他U中顶点为无穷
1	从U={b,c,d,e,f}中发现路径a->b=1最短 选入b，S={a,b} 此时最短路径有a->a=0,a->b=1 以b为中间点，从a->b=1这条最短路径开始找	U={c,d,e,f} (a->b->d=7)<初始的无穷 改写a->b->d=无穷为当前的a->b->d=7 a-> b->其他U中顶点为无穷
2	从U={c,d,e,f}中发现路径a->c=2最短 选入c，S={a,b,c} 此时最短路径有 a->a=0,a->b=1,a->c=2 以b为中间点，从a->c=2这条最短路径开始找	U={d,e,f} (a->c->d=5)<已有的7 改写为a->c->d=5
3	从U={d,e,f}中发现路径a->c->d=5最短 选入d，S={a,b,c,d} 此时最短路径有 a->a=0,a->b=1,a->c=2,a->c->d=5 以d为中间点，从a->c->d=5这条最短路径开始找	U={e,f} (a->c->d->e=9)<步骤1中的15 改写为a->c->d->e=9 (a->c->d->f=6)<初始的无穷 改写为a->c->d->f=6
4	从U={e,f}中发现路径a->c->d->f=6最短 选入f，S={a,b,c,d,f} 此时最短路径有 a->a=0,a->b=1,a->c=2,a->c->d=5 a->c->d->f=6 以f为中间点，从a->c->d->f=6这条最短路径开始找	U={e} (a->c->d->f->e=7)<步骤3中改写成的9 改写为a->c->d->f->e=7
5	从U={f}中发现路径a->c->d->f->e=7最短 选入f，S={a,b,c,d,f,e} 此时最短路径有 a->a=0,a->b=1,a->c=2,a->c->d=5 a->c->d->f=6,a->c->d->f->e=7	U集合已空，查找完毕。

 Floyd（弗洛伊德）算法：

又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间的最短路径算法。使用对象：多源、无负权边的最短路。

 

Floyd-Warshall算法：

Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路径算法。使用对象：通常可以在任何图中使用，包括有向图、带负权边的图。