2025.4.10 CWOI 模拟赛题解

T1 天才俱乐部

唐题，但是因为没有特判挂了 \(\textcolor{red}{100}\) 分，想让出题人飞起来。

我们可以把取模换一种方式表达，\(x \bmod k = x - k \lfloor \frac{x}{k} \rfloor\)，所以：

\[\sum (a _ i \bmod k) = \sum (a _ i - k \lfloor \frac{a _ i}{k} \rfloor) = \sum (a _ i) - k \sum (\lfloor \frac{a _ i}{k} \rfloor) = s \\ \Rightarrow k \sum (\lfloor \frac{a _ i}{k} \rfloor) = sum - s \]

对 \(sum - s\) 分解因数，暴力判断就好了，记得判断 \(sum \lt s\) 和 \(\textcolor{red}{sum = s}\) 的情况，出题人在每一组数据都放了 \(sum = s\) 的情况导致挂完。

T2 实战教学

看见最大值最小，考虑二分。

先二分一个答案 \(x\)，考虑怎么 check。

我们先按照 \(a\) 从大到小排序，因为能够选择的 \(j \gt i\) 一定满足 \(b _ j \le x - a _ i\)，所以 \(i\) 能够选择的一定比 \(i + 1\) 少，因此考虑 \(i\) 可以不用管后面的。

因为对 \(i\) 的限制是越来越宽松的，所以我们可以直接选择满足条件的 \(a _ j\) 最大的那个 \(j\)，可以直接线段树维护。

时间复杂度 \(\Omicron(n \log ^ 2 n)\)。

T3 穿越银匙之门

爆黑了，原题是 AGC027F。

无根树不好做，考虑选择一个根。这样，需要被操作的点，在两棵树中的父亲一定不同，于是根据这个关系连边跑拓扑排序就好了。

但是这样是错的只有 40 分。你猜出题人为什么在一档部分分明确写了答案不等于 \(n\)，那说明答案可以等于 \(n\)。

那差的那一次在哪呢？我们钦定了根节点，那根节点一定不会动，但是有可能根节点需要先动一次。那我们可以枚举第一次操作，然后再跑上面的。

时间复杂度：\(\Omicron(Tn ^ 3)\)。

代码这得贴一个，很不好写，Link。

T4 绳网委托

看到 HDoG 的 1.3K 的 pushup 就直接不想改了。