强大的工具--位运算

近日来在看书的过程当中被这样的一句话 假设hi和low是两个整数，它们的值介于0到15之间，如果r是一个8位整数，且r的低四位与low各位上的数一致，而r的高4位与hi各位上的数一致，很自然会想到要这样写：

r = hi << (4 + low);   整的迷惑，说实话，位运算也学过，但使用最多的也就是在交换数值当中使用异或运算，而当我明白书中这句话里表达式的含义时，深深被其中的精妙所折服，于是在网上搜集了关于位运算的一些使用技巧，记录以下，以供后日参考（其中借鉴了csdn和百度上的一些问答，因为数量繁杂，记得不是太全，向这些博主表示衷心的感谢！）：

首先还是从最基础的说起，写程序位运算是必要的吗，以我的理解并不是，但是位运算正由于其本身能够直接操作底层二进制数的特性，能提高近百分之60左右的运算效率，也是值得去学习和深入研究的，在学校的学习中位运算，课堂的知识讲解的比较少，把c/c++中 位运算 的基础知识先罗列一下

运算符	含义	功能
&	按位与	如果两个相应的二进制位都为１，则该位的结果值为１；否则为０。
|	按位或	两个相应的二进制位中只要有一个为１，该位的结果值为１。
∧	按位异或	若参加运算的两个二进制位同号则结果为０（假）异号则结果为１（真）
～	取反	～是一个单目（元）运算符，用来对一个二进制数按位取反，即将０变１，将１变０。
<<	左移	左移运算符是用来将一个数的各二进制位全部左移N位，右补０。
>>	右移	表示将a的各二进制位右移N位，移到右端的低位被舍弃,对无符号数,高位补0。

 

　在基础知识方面需要注意的是，在计算机中二进制数都是以补码的形式存在的，方便机器进行运算，正数的原码和补码是相同的，而负数的补码需要原码进行取反加一，在位运算时需要多加注意

有位大神将位运算的使用总结成一句口诀:

清零取反要用与，某位置一可用或

若要取反和交换，轻轻松松用异或

接下来就是位运算的各种使用技巧：

(1) 按位与-- &

1 清零特定位 (mask中特定位置0，其它位为1，s=s&mask)

 

2 取某数中指定位 (mask中特定位置1，其它位为0，s=s&mask)

 

(2) 按位或-- |

常用来将源操作数某些位置1，其它位不变。 (mask中特定位置1，其它位为0 s=s | mask)

(3) 位异或-- ^

1 使特定位的值取反 (mask中特定位置1，其它位为0 s=s^mask)

 

2 不引入第三变量，交换两个变量的值 (设 a=a1,b=b1)

目 标          操 作              操作后状态

a=a1^b1        a=a^b              a=a1^b1,b=b1

b=a1^b1^b1      b=a^b              a=a1^b1,b=a1

a=b1^a1^a1      a=a^b              a=b1,b=a1

 

位运算实际应用：

(1) 判断int型变量a是奇数还是偶数

a&1  = 0 偶数

a&1 =  1 奇数

 

(2) 取int型变量a的第k位 (k=0,1,2……sizeof(int))，即a>>k&1

 

(3) 将int型变量a的第k位清0，即a=a&~(1 << k)

 

(4) 将int型变量a的第k位置1， 即a=a|(1 << k)

 

(5) int型变量循环左移k次，即a=a < >16-k  (设sizeof(int)=16)

 

(6) int型变量a循环右移k次，即a=a>>k|a < <16-k  (设sizeof(int)=16)

 

(7)整数的平均值

对于两个整数x,y，如果用 (x+y)/2 求平均值，会产生溢出，因为 x+y 可能会大于INT_MAX，但是我们知道它们的平均值是肯定不会溢出的，我们用如下算法：

int average(int x, int y)  //返回X,Y 的平均值

{

return (x&y)+((x^y)>>1);

}

 

(8)判断一个整数是不是2的幂,对于一个数 x >= 0，判断他是不是2的幂

boolean power2(int x)

{

return ((x&(x-1))==0)&&(x!=0)；

}

 

(9)不用temp交换两个整数

 

void swap(int x , int y)

{

x ^= y;

y ^= x;

x ^= y;

}

 

(10)计算绝对值

int abs( int x )

{

int y ;

y = x >> 31 ;

return (x^y)-y ;        //or: (x+y)^y

}

 

(11)取模运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)

a % (2^n) 等价于 a & (2^n - 1)

 

(12)乘法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)

a * (2^n) 等价于 a < < n

 

(13)除法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)

a / (2^n) 等价于 a>> n

例: 12/8 == 12>>3

 

(14) a % 2 等价于 a & 1

 

(15) if (x == a) x= b;

else x= a;

等价于 x= a ^ b ^ x;

 

(16) x 的 相反数 表示为 (~x+1)

 

"奇技淫巧" :

技巧一：用于消去x的最后一位的1

x & (x-1)
x = 1100
x-1 = 1011
x & (x-1) = 1000

1.1.应用一 用O(1)时间检测整数n是否是2的幂次.
思路解析：N如果是2的幂次，则N满足两个条件。
1.N>0
2.N的二进制表示中只有一个1
一位N的二进制表示中只有一个1，所以使用N&(N-1)将唯一的一个1消去。
如果N是2的幂次，那么N&(N-1)得到结果为0，即可判断。

1.2.应用二 计算在一个 32 位的整数的二进制表示中有多少个 1.
思路解析：
由 x & (x-1) 消去x最后一位知。循环使用x & (x-1)消去最后一位1，计算总共消去了多少次即可。

1.3.将整数A转换为B，需要改变多少个bit位
思路解析
这个应用是上面一个应用的拓展。
思考将整数A转换为B，如果A和B在第i（0<=i<32）个位上相等，则不需要改变这个BIT位，如果在第i位上不相等，则需要改变这个BIT位。所以问题转化为了A和B有多少个BIT位不相同。联想到位运算有一个异或操作，相同为0，相异为1，所以问题转变成了计算A异或B之后这个数中1的个数。

技巧二 使用二进制进行子集枚举
应用.给定一个含不同整数的集合，返回其所有的子集
样例
如果 S = [1,2,3]，有如下的解：
[ [3], [1], [2], [1,2,3], [1,3], [2,3], [1,2] ]

思路
思路就是使用一个正整数二进制表示的第i位是1还是0，代表集合的第i个数取或者不取。所以从0到2n-1总共2n个整数，正好对应集合的2^n个子集。

S = {1,2,3}
N bit Combination
0 000 {}
1 001 {1}
2 010 {2}
3 011 {1,2}
4 100 {3}
5 101 {1,3}
6 110 {2,3}
7 111 {1,2,3}

技巧三.a^b^b=a
3.1.应用一 数组中，只有一个数出现一次，剩下都出现三次，找出出现一次的。
问题
Given [1,2,2,1,3,4,3], return 4

解题思路
因为只有一个数恰好出现一个，剩下的都出现过两次，所以只要将所有的数异或起来，就可以得到唯一的那个数。

#include<stdio.h>
int main()
{
    int a[7]={1,2,2,1,3,4,3};
    int ans=0;
    for(int i=0;i<7;i++){
        ans^=a[i];
    }
    printf("%d\n",ans);
}

3.2.应用二 数组中，只有一个数出现一次，剩下都出现三次，找出出现一次的。(还是很蒙蔽)
问题
Given [1,1,2,3,3,3,2,2,4,1] return 4

解题思路
因为数是出现三次的，也就是说，对于每一个二进制位，如果只出现一次的数在该二进制位为1，那么这个二进制位在全部数字中出现次数无法被3整除。
模3运算只有三种状态：00,01,10，因此我们可以使用两个位来表示当前位%3，对于每一位，我们让Two，One表示当前位的状态，B表示输入数字的对应位，Two+和One+表示输出状态。

0 0 0 0 0
 0 0 1 0 1
 0 1 0 0 1
 0 1 1 1 0
 1 0 0 1 0
 1 0 1 0 0
 One+ = (One ^ B) & (~Two)
 Two+ = (~One+) & (Two ^ B)

#include<stdio.h>

void findNum(int *a,int n)
{
    int ans=0;
    int bits[32]={0};
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<32;j++){
            bits[j]+=((a[i]>>j)&1);
        }
    }
    for(int i=0;i<32;i++){
        if(bits[i]%3==1) ans+=1<<i;
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    int a[10]={1,1,2,3,3,3,2,2,4,1};
    findNum(a,10);
}

 

3.3.应用三 数组中，只有两个数出现一次，剩下都出现两次，找出出现一次的
问题
Given [1,2,2,3,4,4,5,3] return 1 and 5

解题思路
有了第一题的基本的思路，我们不妨假设出现一个的两个元素是x，y，那么最终所有的元素异或的结果就是res = x^y。并且res！=0，那么我们可以找出res二进制表示中的某一位是1，那么这一位1对于这两个数x,y只有一个数的该位置是1。对于原来的数组，我们可以根据这个位置是不是1就可以将数组分成两个部分。求出x,y其中一个，我们就能求出两个了。

#include<stdio.h>

void findNum(int *a,int n)
{
    int ans=0;
    int pos=0;
    int x=0,y=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        ans^=a[i];
    int tmp=ans;
    while((tmp&1)==0){
    //终止条件是二进制tmp最低位是1
            pos++;
            tmp>>=1;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        if((a[i]>>pos)&1){//取出第pos位的值
            x^=a[i];
        }
    }
    y=x^ans;
    if(x>y) swap(x,y);//从大到小输出x,y
    printf("%d %d\n",x,y);
}
int main()
{
    int a[8]={1,2,2,3,4,4,5,3};
    findNum(a,8);
}

 

2019-05-07 12:05:42 编程小菜鸟自我反省，大佬勿喷，谢谢！！！