第十一届蓝桥杯校内赛/校内选拔赛(2020年)I题序列
序列
问题描述
小明想知道,满足以下条件的正整数序列的数量:
1. 第一项为 n;
2. 第二项不超过 n;
3. 从第三项开始,每一项小于前两项的差的绝对值。
请计算,对于给定的 n,有多少种满足条件的序列。
输入格式
输入一行包含一个整数 n。
输出格式
输出一个整数,表示答案。答案可能很大,请输出答案除以10000的余数。
样例输入
4
样例输出
7
样例说明
以下是满足条件的序列:
4 1
4 1 1
4 1 2
4 2
4 2 1
4 3
4 4
评测用例规模与约定
对于 20% 的评测用例,1 <= n <= 5;
对于 50% 的评测用例,1 <= n <= 10;
对于 80% 的评测用例,1 <= n <= 100;
对于所有评测用例,1 <= n <= 1000。
由题目能够得知,第三位可用的数只与前两位有关。
初始第一位为n。第二位的范围为 1~n 。
如果用T(n,m)表示以n为第一位,m为第二位的可能序列的话,那么对于n的解为 T(n,1)+T(n,2)+...+T(n,n)
。
而对于T(n,m)他的解可得为T(n,m)=1+T(m,1)+T(m,2)+...+T(m,|n-m|-1)
。
例如以 6 3为开头的序列,T(6,3)=1+T(3,1)+T(3,2)
。
所以根据以上结论就能够得出解。
以下是Java代码仅供参考
import java.util.Scanner;
public class Main {
static Scanner sc = new Scanner(System.in);
public static void main(String[] args) {
int n = sc.nextInt();
int ans[][] = new int[n + 1][n + 1];
int jg = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
jg += jie(ans, n, i);
}
System.out.println(jg%10000);
}
private static int jie(int[][] ans, int n, int m) {
if (ans[n][m] != 0) {
return ans[n][m];
}
int te = 1;
for (int i = 1; i < Math.abs(n - m); i++) {
te = (te + jie(ans, m, i)) % 10000;
}
return ans[n][m] = te;
}
}
测试得出1000的结果所用的时间约为1300ms
,正常情况下Java代码会有两秒的时间,该程序并不会超时。
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