知识回顾_算法_递归式复杂度分析

知识回顾_算法_递归式复杂度分析

注：均为以前的零碎读书笔记重新整理而来，资料参考大多来自《算法导论》等算法书和网上资料。

1. 代换法
   

   观察递归式，猜测解的形式，然后用数学归纳法来找出真正有效的常数，证明猜测的解正确。
   

   例：
   

   设解为：，则有
   

   
   

   当c>=1时有:
   

检验当n=1时，是否满足解，T(1)=1,而c1lg1=0,因此不满足边界条件，因此我们假设改为对于n>=n0(n0是常数)，证明，用T(2)来代替T(1)作为边界条件，使n0=2；c>=1，当c取到足够大的常数。

1. 递归树法
   

   代换法猜解难度比较大，依赖经验，因此可以用递归树来求解。没有代换法严谨，因此可以用递归树得出解，再用代换法来证明：
   

   例：
   

   递归树：
   

   递归树的解等于每一层的之和相加
   

   画递归树：
   

   
   

   推出以下递归树：
   

   
   

   
   

   对于递归树：
   

   1.    先看它的深度：从这个递归树来看，问题大小为n，问题每次分为n/4;不断划分，直到1，则是求k值：k就是深度。
   

   2.    叶子结点有多少？由树可以看出树每次划分3个子结点，i层的结点的数量为3ⁱ;所以叶子结点数为：;每个叶子结点代价为T(1);所以叶子结点总代价为
   

   
   

   求递归树的解，每一层的和再相加：
   

   解为：
   

   因为有：
   

   而等比数列有性质：（来源wiki）
   

当时,等比数列无限项之和

由于当及 n 的值不断增加时,qⁿ的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和:

所以：

3.主方法

三种情况都把f(n)和比较，谁最大谁作为解的主导。

注意的是：

什么是多项式小于/大于？

    就是f(x)/g(x)的值大于或是小于一个多项式，定义如下：

多项式大于：

多项式小于：

主方法的应用：

T(n)=9T(n/3)+n

a=9,b=3;f(n)=n; f(n)多项式小于，所以T(n)=O(n^2)

T(n)=3T(n/4)+nlgn

,对于规则性条件：

满足第三种情况，因此T(n)=O(nlgn)

T(n)=T(2n/3)+1

主方法(主定理)不是什么递归式都可以适用。不符合多项式大于或小于就应该返回用递归树方法了。