To_Heart—证明——组合数学习题
Task 1
x 5 y 13 x^5y^{13} x5y13的系数为 − 1 × 3 5 × 2 13 × ( 18 5 ) -1\times3^5\times2^{13}\times\dbinom{18}{5} −1×35×213×(518) ,因为 8 + 9 ≠ 18 8+9\neq18 8+9=18 ,所以无 x 8 y 9 x^8y^9 x8y9 此项
Task 2
3 n 3^n 3n= ( 1 + 2 ) n (1+2)^n (1+2)n= ∑ k = 0 n ( n k ) × 1 k × 2 n − k \sum\limits_{k=0}^{n} {\dbinom{n}{k}\times{1^k}}\times{2^{n-k}} k=0∑n(kn)×1k×2n−k= ∑ k = 0 n ( n k ) × 2 k \sum\limits_{k=0}^{n} {\dbinom{n}{k}\times{2^k}} k=0∑n(kn)×2k
扩展： ∑ k = 0 n ( n k ) r k = ∑ k = 0 n ( n k ) r k × 1 n − k = ( r + 1 ) n \sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}r^k=\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}r^k\times1^{n-k}=(r+1)^n k=0∑n(kn)rk=k=0∑n(kn)rk×1n−k=(r+1)n
Task 3
2 n {2^n} 2n= ( 3 − 1 ) n (3-1)^n (3−1)n= ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n m ) 3 n − k \sum\limits_{k=0}^{n}{(-1)^k}\dbinom{n}{m}{3^{n-k}} k=0∑n(−1)k(mn)3n−k
Task 4
∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) 1 0 k \sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k}10^{k} k=0∑n(−1)k(kn)10k= ( 10 − 1 ) k (10-1)^k (10−1)k= ( − 9 ) n (-9)^n (−9)n
Task 5
令
(
n
m
)
\dbinom n m
(mn) 表示在前 n 个小球中选择 m 个的方案数，那么等式的左边即可转换为在前 n 个小球中选择 m 个小球的方案数减去在前 n-3 个小球中选择 m 个小球的方案数。可以发现这两者的区别就是是否可以选择最后的三个小球,于是假设最后一个小球一定是第 n-1 、n-2 、n-3个，那么答案就是在前 n-1 个小球、前 n-2 个小球 、前 n-3 个小球中选择 m-1 个小球的方案数，即$\dbinom {n-1} {m-1} + \dbinom {n-1} {m-2} + \dbinom {n-3} {m-1} $ 好像用m代替了k不过不影响qwq
Task 6
咕咕咕
Task 7
原式= ( 3 0 ) ( n k ) + ( 3 1 ) ( n k − 1 ) + ( 3 2 ) ( n k − 2 ) + ( 3 3 ) ( n k − 3 ) \dbinom {3}{0}\dbinom {n}{k}+\dbinom {3}{1}\dbinom {n}{k-1}+\dbinom {3}{2}\dbinom {n}{k-2}+\dbinom {3}{3}\dbinom {n}{k-3} (03)(kn)+(13)(k−1n)+(23)(k−2n)+(33)(k−3n) .
然后考虑组合意义，即看成两堆小球，一堆有 n 个，另一堆有 3 个，所以原式就是在第 2 堆中拿 0、1、2、3 个，其余在第1 堆里面拿的方案数，也就是 ( n + 3 k ) \dbinom {n+3}{k} (kn+3)
Task 8
( r k ) = ( r r − k ) = r r − k ( r − 1 r − k − 1 ) = r r − k ( r − 1 k ) \dbinom {r}{k}=\dbinom {r}{r-k}= \frac {r}{r-k} \dbinom {r-1}{r-k-1}= \frac {r}{r-k} \dbinom {r-1}{k} (kr)=(r−kr)=r−kr(r−k−1r−1)=r−kr(kr−1).
Task 9
原式= ∑ k = 0 n ( − 1 ) k 1 k + 1 ( n k ) \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k \frac {1} {k+1} \dbinom{n}{k} k=0∑n(−1)kk+11(kn)
= ∑ k = 0 n 1 k + 1 × k + 1 n + 1 × ( − 1 ) k ( n + 1 k + 1 ) \sum\limits_{k=0}^{n}\frac 1 {k+1}\times\frac {k+1}{n+1} \times (-1)^k \dbinom{n+1}{k+1} k=0∑nk+11×n+1k+1×(−1)k(k+1n+1)
= 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n + 1 k + 1 ) \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n+1}{k+1} n+11k=0∑n(−1)k(k+1n+1)
= 1 n + 1 ( ∑ k = 0 n + 1 ( − 1 ) k + 1 ( n + 1 k ) + 1 ) \frac{1}{n+1}(\sum\limits_{k=0}^{n+1}(-1)^{k+1}\dbinom{n+1}{k}+1) n+11(k=0∑n+1(−1)k+1(kn+1)+1)
= 1 n + 1 × ( − ∑ k = 0 n + 1 ( − 1 ) k ( n + 1 k ) + 1 ) \frac{1}{n+1}\times(-\sum\limits_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}\dbinom{n+1}{k}+1) n+11×(−k=0∑n+1(−1)k(kn+1)+1)
= 1 n + 1 × 1 \frac{1}{n+1}\times1 n+11×1= 1 n + 1 \frac{1}{n+1} n+11.
Task 10
-
即证:
( n + 1 k + 1 ) = ∑ m = 0 n ( m k ) \dbinom{n+1}{k+1}=\sum\limits_{m=0}^{n}\dbinom{m}{k} (k+1n+1)=m=0∑n(km)
考虑组合意义，左式表示在 n+1 个小球中选择 k+1 个的方案数，右式表示最后一个选择第 m+1 个小球，在前 m 个小球里面选择 k 个的方案数和，那么显然等于左式.
-
左式的组合意义表示在 m 个元素中选择 2 个元素构成二元组，且可重复选择的方案数，右式的意义为在 m 个中选择 2 个元素构成二元组，且不可重复选择的方案数加上在 m 个中选择 1 个元素的方案数，也就是2次选重复的元素的二元组的方案数.
Task 11
根据 Task 10 继续推导可得a=6,b=6,c=1
Task 12
左式= ∑ k = 1 n ( n n − k ) ( n k − 1 ) \sum\limits_{k=1}^{n}\dbinom{n}{n-k}\dbinom{n}{k-1} k=1∑n(n−kn)(k−1n)
=在 2n 个元素中选择 n-1 个元素的方案数
= ( 2 n n − 1 ) \dbinom{2n}{n-1} (n−12n)
= ( 2 n + 1 n ) − ( 2 n n ) \dbinom{2n+1}{n}-\dbinom{2n}{n} (n2n+1)−(n2n)
= n + 1 2 n + 2 ( 2 n + 2 n + 1 ) − ( 2 n n ) \frac{n+1}{2n+2}\dbinom{2n+2}{n+1}-\dbinom{2n}{n} 2n+2n+1(n+12n+2)−(n2n)
=右式
Task13
左式可以看成两个含有 n 个元素的集合，各选择 k 个元素，每个元素对答案的贡献为 0.5 的总贡献
那么显然等于 1 2 × n ( 2 n n ) \frac{1}{2}\times n\dbinom{2n}{n} 21×n(n2n)
n ( 2 n n ) n\dbinom{2n}{n} n(n2n)= n × 2 n n ( 2 n − 1 n − 1 ) n\times \frac{2n}{n} \dbinom{2n-1}{n-1} n×n2n(n−12n−1)= 2 n ( 2 n − 1 n − 1 ) 2n\dbinom{2n-1}{n-1} 2n(n−12n−1)
所以左式= n ( 2 n − 1 n − 1 ) n\dbinom{2n-1}{n-1} n(n−12n−1)
得证.
