直到冬天九年仍未记起镜中的她 题解

题目描述

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题解

首先枚举每一行的 $1$ 的个数为 $k$；

有一个基本的性质，就是 每一行的 $1$ 的个数 $\times$ 行数 = 每一列的 $1$ 的个数 $\times$ 列数 ，所以转换后的题目就可以用网络流来做了。

边的类型有两种：

1. 我们把 $A_{i,j}$ 看做是第 $i$ 行 和 第 $j$ 列之间的一条边，如果 $A_{i,j}$ 为 $1$，那么这条边流量为 $1$，费用为 $0$；否则流量为 $1$，费用为 $1$；

2. $s$ 向每行连边，容量为 $k$ ,每列向 $t$ 连边，容量为 $n\ast k/m$（如果这玩意不是整数说明 $k$ 不合法），这种边的费用都是 $0$。

这样建图，我们的网络流跑出来的最大网络就是所有 1 的个数，也就是 $k\ast n$ ，最小费用就是把 $A$ 中元素有 $0$ 变为 $1$ 的个数。

但是答案应该是 由 $0$ 变为 $1$ 的个数加上 由 $1$ 变为 $0$ 的个数。 设一开始有 $sum$ 个 $1$ ，最后变成了 $k\ast n$ 个 $1$，其中有 $Mincost$ 个 $1$ 是由 $0$ 变过来的，所以就有 $k\ast n+Mincost-sum$ 个 $1$ 变成了 $0$。

最后的答案就是在枚举中比一个最小值。

代码

板子是用的 OI-WIKI 的，我的炸了qwq

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int> 

const int N = 5e3 + 5, M = 1e5 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, tot = 1, lnk[N], cur[N], ter[M], nxt[M], cap[M], cost[M], dis[N], ret;
bool vis[N];

void add(int u, int v, int w, int c) {
  ter[++tot] = v, nxt[tot] = lnk[u], lnk[u] = tot, cap[tot] = w, cost[tot] = c;
}
void addedge(int u, int v, int w, int c) { add(u, v, w, c), add(v, u, 0, -c); }
bool spfa(int s, int t) {
  memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
  memcpy(cur, lnk, sizeof(lnk));
  std::queue<int> q;
  q.push(s), dis[s] = 0, vis[s] = 1;
  while (!q.empty()) {
    int u = q.front();
    q.pop(), vis[u] = 0;
    for (int i = lnk[u]; i; i = nxt[i]) {
      int v = ter[i];
      if (cap[i] && dis[v] > dis[u] + cost[i]) {
        dis[v] = dis[u] + cost[i];
        if (!vis[v]) q.push(v), vis[v] = 1;
      }
    }
  }
  return dis[t] != INF;
}
int dfs(int u, int t, int flow) {
  if (u == t) return flow;
  vis[u] = 1;
  int ans = 0;
  for (int &i = cur[u]; i && ans < flow; i = nxt[i]) {
    int v = ter[i];
    if (!vis[v] && cap[i] && dis[v] == dis[u] + cost[i]) {
      int x = dfs(v, t, std::min(cap[i], flow - ans));
      if (x) ret += x * cost[i], cap[i] -= x, cap[i ^ 1] += x, ans += x;
    }
  }
  vis[u] = 0;
  return ans;
}
int mcmf(int s, int t) {
  int ans = 0;ret=0;
  while (spfa(s, t)) {
    int x;
    while ((x = dfs(s, t, INF))) ans += x;
  }
  return ans;
}

int sum=0;
char c[105][105];

signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",c[i]+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) sum+=c[i][j]-'0';
	int ans=0x3f3f3f3f;
	int s=0,t=n+m+1;
	for(int k=0;k<=m;k++){
		if(k*n%m) continue;tot=1;memset(lnk,0,sizeof lnk);
		for(int i=1;i<=n;i++) addedge(s,i,k,0);
		for(int i=1;i<=m;i++) addedge(i+n,t,k*n/m,0);
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){
			if(c[i][j]=='0') addedge(i,j+n,1,1);
			else addedge(i,j+n,1,0);
		} 
		int Maxf=mcmf(s,t),Minc=ret;
		ans=min(ans,sum+2*Minc-k*n);
	} 
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}