To_Heart—题解——CF1016F

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题解

因为是 $1$ 到 $n$ 在树上的最短路，所以一定是 $1$ 到 $n$ 这条链，我们先把链拉出来，那么链上的每一个节点可以看做挂上了剩余的不在链上的节点。

如果链上的一个节点挂着的节点超过或等于两个，那么我们可以选择在这两个之间连边，所以无论询问所给的边是什么都不会对答案产生影响。这种情况特判即可。

那么现在我们的节点就最多只会挂一个不在链上的节点了。

因为只有能连边才可能会对答案产生影响，所以考虑哪些点之间可以连边。容易发现，只有当链上的两个点相邻且他们都没有挂其他点的时候，他们不可以连边。

为了表现连边的贡献，定义 $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}$ 数组，$\mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}$表示从 $1$ 开始到 $i$ 的距离；定义 $\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{w}$ 数组，$\mathrm{n}\mathrm{o}{\mathrm{w}}_{\mathrm{i}}$表示从 $1$ 开始到 $i$ 的距离，如果 $i$ 挂了点，那么 $\mathrm{n}\mathrm{o}{\mathrm{w}}_{\mathrm{i}}$ 再加上 $i$ 到它挂的点的距离。

设在 $i,j$ 间连了一条长度为 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}$ 的边$(i<j)$。

因为在 $i,j$ 连了一条边，所以构成了一个环，那么从不在链上的边走到 $n$ 的代价就为 $\mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}+\mathrm{n}\mathrm{o}{\mathrm{w}}_{\mathrm{i}}+\mathrm{n}\mathrm{o}{\mathrm{w}}_{\mathrm{j}}-\mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}\times 2+\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}$

发现除了 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}$ 以外其他东西都是固定的所以我们可以先求出来，然后再加上读入的 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}$，最后和 $\mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}$ 比较一个最小值输出即可。

所以我们现在只需要考虑怎么求出$\mathrm{n}\mathrm{o}{\mathrm{w}}_{\mathrm{i}}+\mathrm{n}\mathrm{o}{\mathrm{w}}_{\mathrm{j}}-\mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}\times 2$ 。发现我们只需要从后往前便利，再用个优先队列维护 $\mathrm{n}\mathrm{o}{\mathrm{w}}_{\mathrm{j}}-\mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}\times 2$ 的最大值即可其实可以单调队列但我懒

code.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int INF=1e15;
int n,m;

struct zz{
	int u,w;
};
bool operator <(zz x,zz y){
	if(x.u==y.u) return x.w>y.w;
	return x.u<y.u; 
} 
vector<zz> v[300005];
bool f[300005];
int dep[300005],Max[300005],siz[300005];
void DFS_1(int x,int fa){
	if(x==n) f[x]=1;
	Max[x]=dep[x];siz[x]=1;
	for(const auto &qwq:v[x]) if(qwq.u^fa){
		int y=qwq.u,w=qwq.w;
		dep[y]=dep[x]+w;
		Max[x]=max(Max[x],Max[y]);
		DFS_1(y,x);
		if(f[y]) f[x]=1;
		else siz[x]+=siz[y];
	}
}
vector<int> q;
int now[300005];
void DFS_2(int x,int fa){
	q.push_back(x);now[x]=dep[x];
	for(auto qwq:v[x]) if(!f[qwq.u]) now[x]+=(Max[qwq.u]-dep[x]);
	for(auto qwq:v[x]) if(f[qwq.u]&&(qwq.u^fa)) DFS_2(qwq.u,x);
}

priority_queue<zz> qq;

signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,x,y,z;i<n;i++) 
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z),v[x].push_back((zz){y,z}),v[y].push_back((zz){x,z});
	dep[1]=0;DFS_1(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(f[i]) if(siz[i]>=3){
			for(int k=1;k<=m;k++) printf("%lld\n",dep[n]); return 0;
		}
		
	}
	DFS_2(1,0);
	int ans=now[1]+now[n]-dep[n]*2;
	
	for(int i=q.size()-1;i>=0;i--){
		zz qwq;
		if(!qq.size()) goto Fuck;
		qwq=qq.top();
		if(qwq.w==q[i+1]&&siz[qwq.w]<2&&siz[q[i]]<2){
			qq.pop();
			if(!qq.size()){ qq.push(qwq);goto Fuck; }
			else{ zz qaq=qq.top();qq.push(qwq);qwq=qaq; }
		}
		ans=max(ans,qwq.u+now[q[i]]);
		Fuck:;qq.push((zz){now[q[i]]-dep[q[i]]*2,q[i]});
	}
	

	for(int i=0;i<q.size();i++){
		for(int j=0;j<i;j++) if((j==i-1&&siz[i]==1&&siz[j]==1)) ans=max(now[q[j]]+now[q[i]]-dep[q[i]]-dep[q[i]],ans);	
	}
	
	for(int i=1,x;i<=m;i++){
		scanf("%lld",&x),printf("%lld\n",min(dep[n],dep[n]+ans+x));
	}
	return 0;
}

哦对了，这份代码只能在私下用，在西西弗的比赛中用会被封号的/jk