To_Heart—题解——BZOJ 4671

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题解

虽然图很多，但是节点数只有 10。考虑枚举节点的联通状态，看哪些图是对其有影响。

定义 $f_i$ 为有 i 个联通块的方案数。但因为是异或所以并不好处理。但是如果把条件放宽呢？定义 $g_i$ 表示至少有 i 个联通块的方案数。发现这种定义下并不关心枚举的联通状态内部是否真正的联通，因为划分节点后已经满足最少有 i 个了。所以内部的边的异或状态并不关心，只需要每两个联通块之间有边即可。然后把每个图的需要的边状压一下放入线性基中，假设基的个数为 k ，那么当前这种划分对于 $g_i$ 的贡献就是 $2^{s-k}$

再考虑 $g_i$ 和 $f_i$ 的关系。对于 $g_i$ ，假设真正分出了 n 个联通块，而我们确规定把他们划分在了 i 个块中。发现方案数满足第二类斯特林数，所以得到：

$$g_i=\sum _j^n\left\{{}_i^j\right\}{f}_i$$

然后斯特林反演即可。