To_Heart—题解——SP18878

这道题要用 Lucas 定理 的思想

题解

首先题目分析的是 奇偶性 ，那么其实就是相当于求

\[\sum\limits_{k=0}^{n} \dbinom{n}{i} \bmod 2 \]

考虑 \(\dbinom{n}{m} \bmod 2\)在什么时候为 1 ，我们把 n 和 m 进制转换以后，

则问题就转换为判断 \(m_i\leq n_i\) 是否成立，如果成立，那么原式一定是 1 。

因为模数为 2 ，那么 \(n_i\) 和 \(m_i\) 只有两种可能:

当 \(n_i\) = 0 时， \(m_i\) 只能等于 0

当 \(n_i\) = 1 时， \(m_i\) 可以等于 1 或 0

所以当 \(n_i\) 为 1 时， \(m_i\) 有两种选择可以使得原式等于 1 ，也就是奇数，所以如果 \(n\) 的二进制中有 \(k\) 位为 1 ，那么奇数的答案就为 \(2^k\) ，偶数直接用总数来减去奇数的情况就好了。

代码

代码其实挺短的，，，

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

ll Pow(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans*=a;
		a*=a,b>>=1;
	}
	return ans;
}

int main(){
	int T;cin>>T;
	while(T--){
		ll n,m;scanf("%lld",&n),m=n;
		ll ans=0;
		while(m) ans+=((m&1ll)),m>>=1ll;
		printf("%lld %lld\n",n+1-Pow(2,ans),Pow(2,ans));
	}
	return 0;
}