To_Heart—题解——SP18878
这道题要用 Lucas 定理 的思想
题解
首先题目分析的是 奇偶性 ,那么其实就是相当于求
\[\sum\limits_{k=0}^{n} \dbinom{n}{i} \bmod 2
\]
考虑 \(\dbinom{n}{m} \bmod 2\)在什么时候为 1 ,我们把 n 和 m 进制转换以后,
则问题就转换为判断 \(m_i\leq n_i\) 是否成立,如果成立,那么原式一定是 1 。
因为模数为 2 ,那么 \(n_i\) 和 \(m_i\) 只有两种可能:
当 \(n_i\) = 0 时, \(m_i\) 只能等于 0
当 \(n_i\) = 1 时, \(m_i\) 可以等于 1 或 0
所以当 \(n_i\) 为 1 时, \(m_i\) 有两种选择可以使得原式等于 1 ,也就是奇数,所以如果 \(n\) 的二进制中有 \(k\) 位为 1 ,那么奇数的答案就为 \(2^k\) ,偶数直接用总数来减去奇数的情况就好了。
代码
代码其实挺短的,,,
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll Pow(ll a,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1) ans*=a;
a*=a,b>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
int T;cin>>T;
while(T--){
ll n,m;scanf("%lld",&n),m=n;
ll ans=0;
while(m) ans+=((m&1ll)),m>>=1ll;
printf("%lld %lld\n",n+1-Pow(2,ans),Pow(2,ans));
}
return 0;
}