浅谈最长上升子序列(O(n*logn)算法)
今天GM讲了最长上升子序列的logn*n算法,但没讲思路。。。
我看了篇博客,发现——
说的有道理!!!
首先,举例子:
a[7]={1,2,4,3,6,7,5}(假设以1开头)
很明显,LIS=5;
那么我们开个b数组玩玩然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列;
用len表示b数组的个数;
b[1]=a[i]=1;
那么目前为止,LIS=1,结尾最小是1;继续:
因为a[i]>b[len],所以说:b[++len]=a[i]:(a[2]>b[1],b[2]=a[2]);第三个也同理。
现在,LIS=3,以LIS=3的所有数组的最小末尾是4.
下一步很重要!!!
因为此时a[i]<b[len],那么就说明:
目前的最大LIS中一定有一个元素可以更小!!!
那么我们就需要把它变小。
那么问题来了:
变小有啥好处???
如果变小的是最后一个元素,那么这时我们就有两个LIS相同的数组,而且这两个数组除b[len]不同以外
完全相同
那么我们就更喜欢b[len]小一点的数组啊。。。
补充:
如果变小的不是最后一个元素呢???
那么:
就可以为让末尾变小打基础啊。。。
还是太蒟,词不表意。。。
补充补充!!!
重新看看!!!如果你上面看不懂
假设存在一个序列d[1…9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1
接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1…2] = 1, 5,Len=2
再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1…2] = 1, 3,Len = 2
继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1…3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1…3] = 1, 3, 4, Len继续等于3
第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。
最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1…5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。