To_Heart—题解——一本通 3.1 练习4 Tree
题目描述
原题来自:2012 年国家集训队互测
给你一个无向带权连通图,每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有 条白色边的生成树。题目保证有解。
输入格式
第一行V,E,need 分别表示点数,边数和需要的白色边数。
接下来E行,每行s,t,c,col表示这边的端点(点从0开始标号),边权,颜色(0白色,1黑色)。
输出格式
一行表示所求生成树的边权和。
样例
样例输入
2 2 1
0 1 1 1
0 1 2 0
样例输出
2
题解:
这个题要求在选取特定数量的基础上,构造一棵最小生成树。我们想一下,因为最小生成树所选择的是当前排序后最小的边(采用克鲁斯卡尔算法),如果我们把白色的边增大,那么这棵最小生成树里面的白色边就会少一些(因为边越大,排序的次序就越靠后),反之亦然。那么我们跑一个二分,把所有白边减一个mid,如果在此时最小生成树的白边数量比题目要求大,就说明目前mid的值大了,将其减少,否则将其增大。当此时最小生成树的白边数量等于题目所给的need时,说明此时的最小生成树即使满足题目要求的最佳情况,且因为此时最小生成树的值是在所有白边都减了一个mid的基础之上,所以答案还需增加一个need*mid;
有一位大佬问了我一个问题:
个人认为你并没有说明可以一定可以取到一个值使得恰好为k个
那么下面附上我的回答(感谢这位大佬!!!)
因为mid的值是没有范围的,所以我们可以通过mid的大小让所有的白边比最小的黑边还小,或者让他们比最大的黑边还大,那么在确保黑边有n-1条后,我们可以让白边的数量通过mid确定范围为0~n-1,所以一定有一个值使得恰好为k个(只要黑边数量大于n-1)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct zz{
int u,v,w,col;
}a[100005];
int pre[50005];
int n,m,k;
int Find(int x){
if(pre[x]!=x){
pre[x]=Find(pre[x]);
}
return pre[x];
}
bool cmp(zz x,zz y){
if(x.w!=y.w)
return x.w<y.w;
return x.col<y.col; //如果两个值相同,白色放前面(或者说是优先考虑白色),如果不相同,那么根据克鲁斯卡尔,权值小的放前面;
}
int CHEAK(int pd,int mid){ //克鲁斯卡尔,如果pd为一,那么说明 我们在统计最小生成树的权值和,如果等于0,那么说明我们在判断白边的个数;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(a[i].col==0){
a[i].w-=mid; //全部减去mid;
}
}
for(int i=0;i<n;i++)
pre[i]=i;
sort(a+1,a+m+1,cmp);
int cnt=0,toto=0,sum=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
int fx=Find(a[i].u),fy=Find(a[i].v);
if(fx==fy)
continue;
pre[fx]=fy;
sum+=a[i].w;
if(a[i].col==0)
cnt++; //如果是白边,则统计;
toto++;
if(toto==n-1) break;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
if(a[i].col==0)
a[i].w+=mid; //减了之后别忘加回来!!!
}
if(pd==0)
return cnt;
return sum;
}
int main(){
cin>>n>>m>>k;
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d%d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w,&a[i].col);
}
int l=-105,r=105; //二分边界
int ans=105; //统计最后减去的mid;
while(l<=r){
int mid=(l+r)/2;
int pd=CHEAK(0,mid);
if(pd>=k)
r=mid-1,ans=mid;
else
l=mid+1;
}
cout<<CHEAK(1,ans)+k*ans; //答案记得加上减去的mid;
}