第二场周赛（递归递推个人Rank赛）——题解

很高兴给大家出题，本次难度低于上一场，新生的六个题都可以直接裸递归式或者裸递推式解决，对于老生的汉诺塔3，需要找出一般式，后两题分别为裸ST算法（或线段树）/线性DP。

正确的难度顺序为

1. 种花
   
2. 角谷定律
3. 猴子和椰子
4. 汉诺塔1
5. 汉诺塔2
6. 整数划分
7. 跳台阶
8. 汉诺塔3
9. 夏目友人帐（一）
10. 夏目友人帐（二）

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一、种花

本题很容易能推出递推式或者一般式，对于第一快地，有3种种植方法，对于后面的每一快地有不同于前一块地的两种种植方法。

• a₁ = 3；
  
• a_n = 2*（a_n-1）；

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[25];

void init(){
    a[1] = 3;
    for(int i = 2; i <= 20; i++){
        a[i] = a[i-1]*2;
    }
}

int main(){
    freopen("test.out","w",stdout);
    int n;
    init();
    while(cin>>n){
        cout << a[n] << endl;
    }
    return 0;
}

 

二、角谷定律

本题按照给出的式子操作即可，用另外一个变量记录操作次数。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int cnt = 0;
void fun(long long n){
    if(n == 1)
        return ;
    if(n&1)
        cnt++,fun(3*n+1);
    else
        cnt++,fun(n/2);
}

int main(){
    int n;
    freopen("test.in","r",stdin);
    freopen("test.out","w",stdout);
    while(cin>>n){
        cnt = 0;
        fun(n);
        cout << cnt << endl;
    }
    return 0;
}

 

三、猴子和椰子

可能你们也在其他地方看见过本题，设初始椰子为A，最后一次分给每个人的椰子为n，很容易推得一个A关于n得常数式子，因为要保证能够按照题目分下去，所以要保证每次分椰子都为正整数，已得答案为15621（5^6 - 4）。算是个小学数学题。

输出15621即可。

 

四、汉诺塔1

这是一个汉诺塔的基本变式，其实用汉诺塔的思想去想也不难，要移动n根木根从A至C，可划分为下面几个步骤。

• 先移动n-1根木根到C
• 移动第n根木棍到B
• 移动C上的n-1根木棍到A
• 移动B上的第n根木棍到C
• 移动A上的n-1根木棍到C

至此，完成这个汉诺塔的移动，我们把移动n根木棍从A到C计为F(n)。

则F(n） = F(n-1) + 1 + F(n-1) + 1 + F(n-1) = 3*F(n-1) + 2；且F(1) = 2;

按照这个步骤写出递归函数即可。代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long fun(int n){
    if(n == 1)
        return 2;
    return 3*fun(n-1)+2;
}

int main(){
    freopen("test.in","r",stdin);
    freopen("test.out","w",stdout);
    int n;
    while(cin>>n){
        cout << fun(n) << endl;
    }
    return 0;
}

 

五、汉诺塔2

在汉诺塔1的基础上多了可以把最长的木棍放在最上面，还是按照上面的步骤，移动n根木棍从A到C可划分为

• 移动n-1根木棍从A到B
• 移动第n根木棍到B上
• 移动第n根木棍到C上
• 移动n-1根木棍从B到C

至此，完成汉诺塔的移动，我们把移动n根木根从A到C计为F(n)，移动n根木棍到邻柱子计为T(n)，关于T(n)的公式这里就不推了，演变方式一样。

所以有F(n) = T(n-1)+1+1+T(n-1) = 2*T(n-1)+2；且F(1) = 2;

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int fc(int n){
    if(n == 1)
        return 1;
    return 3*fc(n-1)+1;
}

int fun(int n){
    if(n == 1)
        return 2;
    return 2*fc(n-1)+2;
}

int main(){
    freopen("test.in","r",stdin);
    freopen("test.out","w",stdout);
    int n;
    while(cin>>n){
        cout << fun(n) << endl;
    }
    return 0;
}

 

六、整数划分

其实这个题题面以及给出了一点提示，把n分成m个正整数的和，要直接求n的划分个数比较难，但是我们可以求n-1、n-2,,,的划分，设n = ΣD_i，且max(D_i) <= k，

即Di为n的一种划分方案，最大数字不超过k，把它计为F(n,k)，那么本题也就是求F(n,n)；根据 n，k的不同大小关系，可得下列递归式

• F(n, k) = 1; (n =1 or k = 1)
• F(n, k) = F(n, n); (n < k)
• F(n, k) = F(n, k-1) + 1; (n = k)
• F(n, k) = F(n-k, k) + F(n, k-1); (n > k)

所以可以写出代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int fun(int n,int m){
    if(n == 1 || m == 1)
        return 1;
    else if(n < m)
        return fun(n,n);
    else if(n == m)
        return fun(n,n-1)+1;
    else if(n > m)
        return fun(n,m-1)+fun(n-m,m);
}

int main(){
    freopen("test.in","r",stdin);
    freopen("test.out","w",stdout);
    int n;
    while(cin>>n){
        cout << fun(n,n) << endl;
    }
    cerr << clock() << endl;
    return 0;
}

 

七、跳台阶

其实很容易推出对于n阶台阶的方案有

F(n) = Σ(F(n-P_i)); (P1 = 1，Pi = 质数集合)

边界条件F(1) = F(0) = 1;

所以代码显而易见了，其实本题还想卡一下数据范围，因为34好像就会爆int，还是算了，就只给你们弄到30，而且本题开了4s，其实我STD只跑了1.7s，奈何只能取整，干脆就4s得了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int prime[1100],primesize,phi[1100];
bool isprime[1100];

int n;

void getlist(int listsize){
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    isprime[1]=false;
    for(int i=2;i<=listsize;i++)
    {
        if(isprime[i])prime[++primesize]=i;
         for(int j=1;j<=primesize&&i*prime[j]<=listsize;j++)
         {
            isprime[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
    prime[0] = 1;
}

int fun(int n){
    int sum = 0;
    if(n == 1 || n == 0)
        return 1;
    for(int i = 0; i <= primesize; i++){
        if(n < prime[i])
            break;
        sum += fun(n-prime[i]);
    }
    return sum;
}

int main(){
    freopen("test.in","r",stdin);
    freopen("test.out","w",stdout);
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    getlist(100);
    int n;
    while(cin>>n){
        cout << fun(n) << endl;
    }
    cerr << clock() <<endl;
}

 

八、汉诺塔3

四柱汉诺塔问题，我都懒得写如何推了，易得下面递归式

F(n) = min(2*F(n-r)+2^r-1)，1 <= r <= n；

但是直接用上面式子写递归式肯定会时间爆炸，不信你试试。

最大n不超过100，所以其实你先递推出任意一项就可以了= =，这样的话预处理时间为O(n²)，查询时间为O(1)。为了你们好= =所以我没有卡这种算法。

但其实也可以得出一般式，根据Frame-Stewart算法可得出当r = floor((sqrt(8*n+1)-1)/2)时，有最小值，且最小值F(n) = (n - (r²-r+2)/2)*2^r+1；

即可以在O(1)时间内得出任意n根木棍需要的最小转移次数。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[105] = {0};

int init(){
    fill(a,a+101,0x3f3f3f3f);
    a[0] = 0,a[1] = 1,a[2] = 3;
    for(int i = 3; i <= 100; i++){
        for(int j = 1; j < 32; j++){
            temp = 2*a[j]+pow(2LL,(long long)j)-1;
            a[i] = min(a[i],temp);
        }
    }
}

int main(){
    freopen("test.in","r",stdin);
    freopen("test.out","w",stdout);
    int n;
    while(cin>>n){
        int r = floor((sqrt(8*n+1)-1.0)/2.0);
        int ans = (n-(r*r-r+2)/2.0)*pow(2.0,r)+1;
        cout << ans << endl;
    }
    cerr << clock() << endl;
    return 0;
}

 

九、夏目友人帐（一）

经典RMQ问题，ST/线段树都可以。

本来想卡线段树做法，想了一下不卡算了= =。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//线段树
#define lson l,m,p<<1
#define rson m+1,r,p<<1|1
#define Max(a,b) (a<b?b:a)
#define Min(a,b) (a<b?a:b)
#define INF 999999999

int N,M;
int MaxP[100000*4+10];
int maxT;
void Update(int val,int K,int l,int r,int p){
    int m=(l+r)>>1;
    if(l==r){
        MaxP[p]=val;
        return;
    }
    if(K<=m)
        Update(val,K,lson);
    else
        Update(val,K,rson);
    MaxP[p]=Max(MaxP[p<<1],MaxP[p<<1|1]);
}
void Query(int L,int R,int l,int r,int p){
    int m=(l+r)>>1;
    if(L<=l&&r<=R){
        maxT=Max(maxT,MaxP[p]);
        return;
    }
    if(L<=m)
        Query(L,R,lson);
    if(R>=m+1)
        Query(L,R,rson);
}
int main(){
    freopen("test2.in","r",stdin);
    freopen("test2.out","w",stdout);
    int i,val,a,b;
    scanf("%d %d",&N,&M);
    for(i=1;i<=N;i++){
        scanf("%d",&val);
        Update(val,i,1,N,1);
    }
    for(i=1;i<=M;i++){
        scanf("%d %d",&a,&b);
        maxT=0;
        Query(a,b,1,N,1);
        printf("%d\n",maxT);
    }
    cerr << clock() << endl;
    return 0;
}

//ST算法
int N,M;
int A[500005];
int FMax[500005][27];

void Init(){
    int i,j;
    for(i=1;i<=N;i++)
        FMax[i][0]=A[i];
    for(i=1;(1<<i)<=N;i++){
        for(j=1;j+(1<<i)-1<=N;j++){
            FMax[j][i]=max(FMax[j][i-1],FMax[j+(1<<(i-1))][i-1]);
        }
    }
}

int Query(int l,int r){
    int k=(int)(log(r-l+1)/log(2));
    return max(FMax[l][k],FMax[r-(1<<k)+1][k]);
}

int main(){
    freopen("test1.in","r",stdin);
    freopen("test1.out","w",stdout);
    int i,a,b;
    scanf("%d %d",&N,&M);
    for(i=1;i<=N;i++)
        scanf("%d",&A[i]);
    Init();
    for(i=1;i<=M;i++){
        scanf("%d %d",&a,&b);
        printf("%d\n",Query(a,b));
    }
    cerr << clock() << endl;
    return 0;
}

 

十、夏目友人帐（二）

这里就不说怎么推的了，到时候认真听我黑板上讲23333。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 210;
const int Q = 1010;
int f[Q][N][N];
int p[Q];
int c[N][N];

int main(){
    freopen("test3.in","r",stdin);
    freopen("test3.out","w",stdout);
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n,q;cin>>n>>q;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            cin>>c[i][j];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= q; i++){
        cin>>p[i];
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    int INF = f[0][0][0];
    p[0] = 3;
    f[0][1][2] = 0;
    for(int i = 1; i <= q; i++){
        for(int x = 1; x <= n; x++){
            for(int y = 1; y <= n; y++){
                if(x != p[i] && y != p[i])
                    f[i][x][y] = min(f[i][x][y],f[i-1][x][y]+c[p[i-1]][p[i]]);
                if(p[i] != y && p[i] != p[i-1])
                    f[i][p[i-1]][y] = min(f[i][p[i-1]][y],f[i-1][x][y]+c[x][p[i]]);
                if(p[i] != x && p[i] != p[i-1])
                    f[i][x][p[i-1]] = min(f[i][x][p[i-1]],f[i-1][x][y]+c[y][p[i]]);
            }
        }
    }
    int ans = INF;
    for(int i = 1; i<= n; i++){
        for(int j = 1; j<= n; j++){
            ans = min(ans,f[q][i][j]);
        }
    }
    cout << ans << endl;
    cerr << clock() << endl;
    return 0;
}

 

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P.S. 其实很多题目都可以卡你们算法，不卡不卡，怕被打= =，后面给你们出卡常数233333