折半搜索（meet in middle）
折半搜索
做法为将整个搜索的过程分为两部分，然后每部分分别进行搜索，最后将得到两个答案序列，再将答案序列进行合并，即可得到最终的答案。
可以发现，当状态非常之多的时候，这种优化还是非常明显的，最优情况下可以直接把复杂度开个根号。
需要注意的是，折半搜索应用的时候需要满足以下条件：
-
搜索各项不能相互干扰。
-
需要满足搜索状态可逆，就是说一个状态可以从两个方向都得到。
折半搜索其实还是用的比较广泛的。
BFS ,DFS 还有状压 DP 都有类似的应用。
折半搜索一般的难点就在于最后的答案序列合并。（可能会使用一些奇奇怪怪的高深的玩意才能搞得出来）
实现非常灵活，需要按照题目来进行选择。
一般比较常见的排序后二分，双指针还有哈希表。
逐个分析一下：
1.排序后二分
复杂度肯定是带 log 的。为什么正确？
在一个有序的序列中，如果我们可以找到一个位置可以做到对答案有贡献，那么这个位置之前的所有位置都是可以对答案有贡献的,所以直接统计就好。
1 sort(a+1,a+1+cnta); 2 for(re int i=1;i<=cntb;i++) 3 ans+=upper_bound(a+1,a+1+cnta,m-b[i])-a-1;
2.双指针
一般是线性的，效果很不错，代码比较好写。
缺点就是比较难想，需要考虑一些问题（例如单调性）。
1 int l=cnta,r=1; 2 for(r=1;r<=cntb;r++){ 3 while(a[l]+b[r]>m)l--;//m是一个限制条件 4 if(a[l]&&b[r])ans+=(l-1); 5 }
3.哈希表
也是线性，至于具体如何就要看脸了。
如果不被卡的话哈希表确实是一种非常不错的选择。
具体就是先处理一半，然后把搜到的答案存到哈希表里，然后搜另一半，之后再去哈希表里找，把结果合并就可以了。
1 void dfs1(){//搜索一半 2 if (到达边界){ 3 add(hash(x)); 4 return; 5 } 6 ... 7 } 8 9 void dfs2(){//处理另一半 10 if (到达边界){ 11 ans+=sum[hash(x)]; 12 return; 13 } 14 ... 15 }
例题：
P3067 [USACO12OPEN]Balanced Cow Subsets G
摘自洛谷博客
