2026)

1|0Educational Codeforces Round 171

1|1D. Sums of Segments

定义四个前缀和：

$s_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{i}$

$u_{i} = s_{1} + s_{2} + \dots + s_{i}$

$t_{i} = s (i, i) + s (i, i + 1) + \dots + s (i, n)$

$t s_{i} = t_{1} + t_{2} + \dots + t_{i}$

$s_{i}$ 为 $a_{i}$ 的前缀和， $u_{i}$ 为 $s_{i}$ 的前缀和， $t_{i}$ 为分块之后第 $i$ 块的和， $t s_{i}$ 为 $t_{i}$ 的前缀和，也是分块之后的前缀和

$b$ 数组中第 $k$ 块的个数是 $n - k + 1$ ，前 $k$ 块的总数为 $n k - \frac{k (k - 1)}{2}$

由前 $k$ 块的总数可以二分，定位到 $l, r$ 的块数，假定分别 $x, y$

此时和 $s u m = t s_{y} - t s_{x - 1}$ ，还需要减去在 $x, y$ 块中多加的

此时需要求位置 $l, r$ 在块中的第几个

设第 $l, r$ 个元素是 $s (x, z), s (y, w)$ ，由于位置 $x n - \frac{x (x - 1)}{2}$ 上的元素是 $s (x, n)$ ，则有

$n - z = x n - \frac{x (x - 1)}{2} - l$ ，可得： $z = n - x n - \frac{x (x - 1)}{2} + l$

同理： $w = n - y n - \frac{y (y - 1)}{2} + r$

然后删去多出来的部分

对于第 $x$ 块，位置 $l$ 在 $s (x, z)$ ，所以要去掉 $s (x, 1) + s (x, 2) + \dots + s (x, z - 1)$ ，即下图中红色部分，就可以用我们前面的前缀和求取，

蓝色梯形部分为： $u_{z - 1} - u_{x}$

橙色矩形部分为： $(x - z) s_{x - 1}$

所以减去的红色部分为： $u_{z - 1} - u_{x} - (x - z) s_{x - 1}$

同理可得对于第 $y$ 块，需要减去的部分为： $u_{n} - u_{w - 1} - (n - w) s_{y - 1}$

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 3e5 + 10;
const double eps = 1e-6;
int n;
int s[N],u[N],t[N],ts[N],a[N];
int x, y, q, l, r ,z ,w;
void solve()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        cin >> a[i];
        s[i] = s[i-1] + a[i];
        u[i] = u[i-1] + s[i]; 
    }
    for(int i = n ; i >= 1 ; i --)
        t[i] = t[i+1] + (n-i+1)*a[i];
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        ts[i] = ts[i-1] + t[i];
    cin >> q;
    while(q--){
        cin >> l >> r;
        int sum = 0;
        int L = 1, R = n;
        while(L != R){
            int mid = (L + R) / 2;
            if(n*mid-mid*(mid-1)/2 < l) L = mid + 1;
            else R = mid;
        }
        x = L;
        L = 1 , R = n;
        while(L != R){
            int mid = (L + R) / 2;
            if(n*mid-mid*(mid-1)/2 < r) L = mid + 1;
            else R = mid;
        }
        y = L;
        // cout << x << " " << y << " ";
        sum = ts[y] - ts[x-1];
        z = n - (x*n -x*(x-1)/2 - l);
        w = n - (y*n -y*(y-1)/2 - r);
        sum -= u[z-1] - u[x-1] - (z-x)*s[x-1];
        sum -= u[n]-u[w] -s[y-1]*(n-w);
        cout << sum << endl;
    }
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    int _ = 1;
    // cin >> _ ;
    while (_--)
        solve();
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：xued
本文链接：https://www.cnblogs.com/xdeyt/p/18516173.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！