# [Educational Codeforces Round 171](https://codeforces.com/contest/2026)

1|0Educational Codeforces Round 171

1|1D. Sums of Segments

定义四个前缀和:

\(s_i=a_1+a_2+\dots+a_i\)

\(u_i=s_1+s_2+\dots+s_i\)

\(t_i=s(i,i)+s(i,i+1)+\dots+s(i,n)\)

\(ts_i=t_1+t_2+\dots+t_i\)

\(s_i\)\(a_i\)的前缀和,\(u_i\)\(s_i\)的前缀和,\(t_i\)为分块之后第\(i\)块的和,\(ts_i\)\(t_i\)的前缀和,也是分块之后的前缀和

\(b\)数组中第\(k\)块的个数是\(n-k+1\),前\(k\)块的总数为\(nk-\frac{k(k-1)}{2}\)

由前\(k\)块的总数可以二分,定位到\(l,r\)的块数,假定分别\(x,y\)

此时和\(sum=ts_{y}-ts_{x-1}\),还需要减去在\(x,y\)块中多加的

此时需要求位置\(l,r\)在块中的第几个

设第\(l,r\)个元素是\(s(x,z),s(y,w)\),由于位置\(xn-\frac{x(x-1)}{2}\)上的元素是\(s(x,n)\),则有

\(n-z=xn-\frac{x(x-1)}{2}-l\),可得:\(z=n-xn-\frac{x(x-1)}{2}+l\)

同理:\(w=n-yn-\frac{y(y-1)}{2}+r\)

然后删去多出来的部分

对于第\(x\)块,位置\(l\)\(s(x,z)\),所以要去掉\(s(x,1)+s(x,2)+\dots+s(x,z-1)\),即下图中红色部分,就可以用我们前面的前缀和求取,

蓝色梯形部分为:\(u_{z-1}-u_x\)

橙色矩形部分为:\((x-z)s_{x-1}\)

所以减去的红色部分为:\(u_{z-1}-u_x-(x-z)s_{x-1}\)

同理可得对于第\(y\)块,需要减去的部分为:\(u_n-u_{w-1}-(n-w)s_{y-1}\)

代码如下:

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define inf 0x3f3f3f3f const int mod = 1e9 + 7; const int N = 3e5 + 10; const double eps = 1e-6; int n; int s[N],u[N],t[N],ts[N],a[N]; int x, y, q, l, r ,z ,w; void solve() { cin >> n; for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){ cin >> a[i]; s[i] = s[i-1] + a[i]; u[i] = u[i-1] + s[i]; } for(int i = n ; i >= 1 ; i --) t[i] = t[i+1] + (n-i+1)*a[i]; for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) ts[i] = ts[i-1] + t[i]; cin >> q; while(q--){ cin >> l >> r; int sum = 0; int L = 1, R = n; while(L != R){ int mid = (L + R) / 2; if(n*mid-mid*(mid-1)/2 < l) L = mid + 1; else R = mid; } x = L; L = 1 , R = n; while(L != R){ int mid = (L + R) / 2; if(n*mid-mid*(mid-1)/2 < r) L = mid + 1; else R = mid; } y = L; // cout << x << " " << y << " "; sum = ts[y] - ts[x-1]; z = n - (x*n -x*(x-1)/2 - l); w = n - (y*n -y*(y-1)/2 - r); sum -= u[z-1] - u[x-1] - (z-x)*s[x-1]; sum -= u[n]-u[w] -s[y-1]*(n-w); cout << sum << endl; } } signed main() { ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0), cout.tie(0); int _ = 1; // cin >> _ ; while (_--) solve(); return 0; }

__EOF__

本文作者xued
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