【数论 】

五、数论

文章目录

• 五、数论
• • 快速幂
  • 矩阵快速幂
  • 矩阵快速幂加速递推
  • 最大公约数和最小公倍数
  • 埃式筛法$O(nloglog(n))$
  • 欧式筛法$O(n)$
  • 欧拉函数
  • 线性欧拉函数
  • 约数定理
  • **费马小定理**
  • 欧拉定理
  • 威尔逊定理
  • 裴蜀定理

快速幂

ll quickpow(ll a,ll n,ll p){
    ll res = 1;
    while(n){
        if(n&1) res = res*a%p;
        a = a*a%p;
        n >> 1;
    }
    return res;
}

矩阵快速幂

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;
struct maxtrix{
	ll c[101][101];
	maxtrix(){memset(c,0,sizeof c);}
}A,res;
ll n,k;
maxtrix operator*(maxtrix &x,maxtrix &y){
	maxtrix t;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
		for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
			for(int k = 1 ; k <= n ; k++)
				t.c[i][j] = (t.c[i][j]+x.c[i][k]*y.c[k][j])%mod;
	return t;
}
void quickpow(ll k){
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) res.c[i][i] = 1;
	while(k){
		if(k&1) res = res*A;
		A = A*A;
		k >>= 1;
	}
}
int main()
{
	cin >> n >> k;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
		for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
			cin >> A.c[i][j];
	quickpow(k);
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
	{
		for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
			cout << res.c[i][j] << " ";	
		cout << endl;
	}
		
	
	return 0;
}

矩阵快速幂加速递推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;
struct maxtrix{
	ll c[3][3];
	maxtrix(){memset(c,0,sizeof c);}
}A,F;
maxtrix operator*(maxtrix &x,maxtrix &y){
	maxtrix t;
	for(int i = 1 ; i <= 2 ; i++)
		for(int j = 1 ; j <= 2 ; j++)
			for(int k = 1 ; k <= 2 ; k++)
				t.c[i][j] = (t.c[i][j]+x.c[i][k]*y.c[k][j])%mod;
	return t;
}
void quickpow(ll n){
	F.c[1][1] = F.c[1][2] = 1;
	A.c[1][1] = A.c[1][2] = A.c[2][1] = 1;
	while(n){
		if(n&1) F = F*A;
		A = A*A;
		n >>= 1;
	}
}
int main()
{
	
	ll x;
	cin >> x;
	if(x <= 2){ 
		cout << 1;
		return 0;
	} 
	quickpow(x-2);
	cout << F.c[1][1];
	
	
	return 0;
	
}

最大公约数和最小公倍数

欧几里得算法：$gcd(a,b)=gcd(a,a\%b)$

若$gcd(p,q)=x$，$lcm(p,q)=y$，则$pq=gcd(p,q)lcm(p,q)=xy$

最大公约数和最小公倍数问题

题目描述

输入两个正整数 $x_0,y_0$，求出满足下列条件的 $P,Q$ 的个数：

1. $P,Q$ 是正整数。

2. 要求 $P,Q$ 以 $x_0$ 为最大公约数，以 $y_0$ 为最小公倍数。

试求：满足条件的所有可能的 $P,Q$ 的个数。

输入格式

一行两个正整数 $x_0,y_0$。

输出格式

一行一个数，表示求出满足条件的 $P,Q$ 的个数。

样例 #1

样例输入 #1

3 60

样例输出 #1

4

//已知结论，只需要枚举p
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll x,y,ans;
int main()
{
	cin >> x >> y;
	ll t = x*y;
	for(ll i = 1 ; i*i <= t ; i ++)
		if(t%i==0 && __gcd(i,t/i)==x)
			ans += 2;
	if(x==y) ans--;
	cout << ans;
	return 0;
}

埃式筛法$O(nloglog(n))$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e8+10;
bool vis[N];
int prim[6000010];
int cnt;
void Eratosthenes(ll n){
	for(ll i = 2 ; i <= n ; i ++)
	{
		if(!vis[i]){
			prim[++cnt] = i;
			for(ll j = i*i ; j <= n ; j +=i)
				vis[j] = 1;
		}
	}
}
int main()
{
	ll n;
	int q;
	cin >> n >> q;
	Eratosthenes(n);
	while(q--)
	{
		int x;
		cin >> x;
		cout << prim[x]<< endl;
	}
	return 0;
}

欧式筛法$O(n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e8+10;
bool vis[N];
int prim[6000010];
int cnt;
void get_prim(ll n){
	for(int i = 2; i <= n ; i ++){
		if(!vis[i]) prim[++cnt] = i;
		for(int j = 1 ; 1LL*i*prim[j] <= n ; j ++)
		{
			vis[i*prim[j]] = 1;
			if(i%prim[j] == 0) break;
		}
	}
}
int main()
{
	ll n;
	int q;
	cin >> n >> q;
	get_prim(n);
	while(q--)
	{
		int x;
		cin >> x;
		cout << prim[x]<< endl;
	}
	return 0;
}

欧拉函数

定义：$1$~$n$中与$n$互质的数的个数成为欧拉函数，记为$\phi (n)$

例如：$\phi (1)=1$，$\phi (2)=1$，$\phi (3)=2$，$\phi (4)=2$，$\phi (5)=4$

性质：

1.若$p$是质数，则$\phi (p)=p-1$

2.若p是质数，则$\phi (p^k)=(p-1)p^{k-1}$

3.积性函数：若$gcd(m,n)=1$，即$m,n$互质，则$\phi (mn)=\phi (m)\phi (n)$

计算公式
$$\begin{gathered} n=\sum _{i=1}^s{p}_i^{{\alpha }_i}=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_s^{{\alpha }_s} \\ \phi (n)=n\times \sum _{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}=n\times \frac{p_1-1}{p1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \cdots \times \frac{p_s-1}{p_s} \end{gathered}$$

//试除法
int phi(int n){
	int res = n;
    for(int i = 2 ; i*i<=n ; i++){
        if(n%i == 0){
            res = res/i*(i-1);
            while(n%i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n>1) res = res/n*(n-1);
    return res;
}

线性欧拉函数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6+10;
int p[N], vis[N], cnt;
int phi[N];
void get_phi(int n){
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
		if(!vis[i]){
			p[cnt++] = i;
			phi[i] = i-1;
		}
		for(int j = 0 ; i*p[j] <= n ; j ++){
			int m = i*p[j];
			vis[m] = 1;
			if(i%p[j] == 0){
				phi[m] = p[j]*phi[i];
				break;
			}else phi[m] = (p[j]-1)*phi[i];
		}
	}
}

约数定理

$$n=\prod _{i=1}^s{p}_i^{{\alpha }_i},则d(n)=\prod _{i=1}^s({\alpha }_i+1)$$

const int N = 1e6 + 10;
int p[N], vis[N], cnt;
int a[N];//记录i的最小质因数的次数
int d[N];//记录i的约数个数
void get_d(int n){
    d[1] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= n ; i++){
        if(!vis[i]){
            p[++cnt] = i;
            a[i] = 1; d[i] = 2;
        }
        for(int j = 1; i*p[j] <= n ; j++){
            int m = i*p[j];
            vis[m] = 1;
            if(i%p[j] == 0){
                a[m] = a[i] + 1;
                d[m] = d[i]/a[m]*(a[m]+1);
                break;
            }else{
                a[m] = 1; d[m] = d[i]*2;
            }
        }
    }
}

同余式

$a\equiv b(modm)$ ($a$和$b$对m同余) 例如 $8 \equiv2(mod \ 3) $

乘法逆元

若$a$,$b$互质$(a\%b\ne 0)$，且满足同余方程$ax\equiv 1(modb)$，则称$x$为$a$模$b$的乘法逆元，记作$a^{-1}$

例如：$8x\equiv 1(mod5)$，解得$x=2,7,\mathrm{12...}$

费马小定理

若$p$为质数，且$a,p$互质，则$a^{p-1}\equiv 1(modp)$

**问题：**给定两个数$a,p,p$是质数，求$a$模$p$的乘法逆元

由费马小定理，$a^{p-1}\equiv 1(modp)$，得$a\times a^{p-2}\equiv 1(modp)$，则$a$模$p$的乘法逆元为$a^{p-2}$

ll quickpow(ll a,ll b,ll p){
    ll res = 1;
    while(b){
        if(b&1) res = res*a%p;
        a = a*a%p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int main(){
    cin >> a >> p;
    if(a%p)	cout << qucikpow(a,p-2,p);
}

欧拉定理

欧拉函数：$1$~$n$中与$n$互质的数的个数成为欧拉函数，记为$\phi (n)$
$$\phi (n)=n\times \sum _{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}=n\times \frac{p_1-1}{p1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \cdots \times \frac{p_s-1}{p_s}$$
欧拉定理

若$gcd(a,m)=1$，则$a^{\phi (m)}\equiv 1(modm)$

当$m$为质数时，由于$\phi (m)=m-1$，带入欧拉定理，可得到费马小定理$a^{m-1}\equiv 1(modm)$

扩展欧拉定理
$$a^b\equiv \{\begin{array}{lc}{a}^b,& b<\phi (m),(modm)\\ a^{bmod\phi (m)+\phi (m)},& b\ge \phi (m),(modm)\end{array}$$

【模板】扩展欧拉定理
题目描述

给你三个正整数，$a,m,b$，你需要求：$a^b\mathrm{mod}m$

输入格式

一行三个整数，$a,m,b$

输出格式

一个整数表示答案

样例 #1

样例输入 #1

2 7 4

样例输出 #1

2

样例 #2

样例输入 #2

998244353 12345 98765472103312450233333333333

样例输出 #2

5333

提示

注意输入格式，$a,m,b$ 依次代表的是底数、模数和次数

【样例 $1$ 解释】
$2^4\mathrm{mod}7=2$
【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$1\le a\le 10^9$，$1\le b\le 10^{20000000}，1\le m\le 10^8$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
char s[20000050];
int a,b,m,phi,flag;
int get_phi(int m){
	int res = m;
	for(int i = 2 ; i*i <= m ; i++){
		if(m%i == 0){
			res = res/i*(i-1);
			while(m%i == 0) m /= i;
		}
	}
	if(m > 1) res = res/m*(m-1);
	return res;
}
int depow(int phi){
	int b = 0;
	for(int i = 0 ; s[i] ; i++){
		b = b*10+(s[i]-'0');
		if(b >= phi) flag = 1, b %= phi;
	}
	if(flag) b += phi;
	return b;
}
int quickpow(ll a,int b){
	ll res = 1;
	while(b){
		if(b&1) res = res*a%m;
		a = a*a%m;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	cin >> a >> m >> s;
	phi = get_phi(m);
	b = depow(phi);
	int ans = quickpow(a,b);
	cout << ans;
	return 0;
}

威尔逊定理

$(p-1)!\equiv -1(modp)$是$p$为质数的充分必要条件

推论

1.若$p$是质数，则$(p-1)!+1\equiv (modp)$

2.若$p$是大于$4$的合数，则$(p-1)!\equiv 0(modp)$

裴蜀定理

一定存在整数$x,y$，满足$ax+by=gcd(a,b)$

推广：

一定存在整数$x,y$，满足$ax+by=gcd(a,b)\times n$

再推广：

一定存在整数$X_1...X_i$，满足${\sum }_{i==1}^n{A}_i{X}_i=gcd(A_1,A_2,...,A_n)$

注意：求gcd时可带入绝对值求