成都信息工程大学第八届校赛 H J 题解

H. Bang Bang Keli Ba

题目大意

给定数组 $a$ ,构造递增序列 $b$ 和递减序列 $c$ 且 $a_i=b_i+c_i$ 。

题解

下面证明解的存在性，存在性证明后，解也就出来了。
对于序列 $b,c$ ，一个递增，一个递减就意味这 $b$ 的差分数组 $b'$ 每个元素都大于等于 $0$ ，$c$ 的差分数组 $c'$ 每个元素都小于等于 $0$ 。对于 $a$ 的差分数组 $a'$ ,我们同样有 $a'_i=b'_i+c'_i$ ，于是对于 $a'_i$ ，我们把它拆成一个非负数和一个非整数的和即可，显然是存在无数多的解的。

同时也有其他很多解法，在此不介绍了。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
using namespace std;
using ll = long long;

constexpr int N = 1e5+5, P = 1e9+7;
int a[N], b[N], c[N];

int main() {
	int n; cin>>n;
	rep(i,1,n+1)cin>>a[i];
	rep(i,1,n+1){
		int x = a[i] - a[i-1];
		if (x < 0) c[i] = x;
		else b[i] = x;
		b[i] += b[i-1];
		c[i] += c[i-1];
	}
	rep(i,1,n+1)cout<<b[i]<<" \n"[i==n];
	rep(i,1,n+1)cout<<c[i]<<" \n"[i==n];
	return 0;
}

J. No Idea

题目大意

从 $n$ 个数中选至少 $2$ 个数，使这几个数的 $\gcd$ 为 $1$ ，问方案数。

题解

考虑容斥。定义函数 $f(x)$ 为 $\gcd$ 为 $x$ 的方案数，那么答案就是 $f(1)$ 。另外再定义一个函数 $g(x)$ ，表示 $\gcd$ 为 $x$ 的倍数的方案数。根据定义，我们有

$$g(x)=f(x)+f(2x)+f(3x)+...$$

移项得

$$f(x)=g(x)-f(2x)-f(3x)-...$$

于是我们就可以想出这么一种解法：从大到小开始算，假设现在算到了 $x$，我们先算出 $g(x)$ ，那么
$f(x)$ 就可以由上式解出。下面考虑如何计算 $g(x)$ .

考虑这么一个组合问题：从 $n$ 个不同的球里选不少于 $2$ 个球的方案数。答案即为

$$\binom{n}{2}+\binom{n}{3}+...+\binom{n}{n}=2^n-\binom{n}{0}-\binom{n}{1}=2^n-1-n$$

具体的实现方法为，用一个数组记录每个数字出现了多少次（因为数的大小最多只有 $2\times 10^5$），然后从 $2\times 10^5$ 遍历到 $1$ ，设当前遍历到了 $i$ ，于是记录有多少个 $i$ 的倍数，然后套上上述的组合问题即可得到 $g(i)$ 。再减去其倍数的 $f$ 函数值，即可得到 $f(i)$ 。扫到 $1$ 即可得到答案。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
using namespace std; 

using ll = long long;

constexpr int N = 2e5 + 5, P = 998244353;
int v[N], f[N], pw[N];

void precompute() {
	pw[0] = 1;
	rep(i,1,N)pw[i]=pw[i-1]*2%P;
}

int main() {
	precompute();
    int n; cin>>n;
	rep(i,0,n){
		int x; cin>>x;
		v[x] ++;
	}
	for(int i=N-1;i;i--){
		int cnt = 0;
		for (int j=i;j<N;j+=i)cnt+=v[j];
		f[i]=(pw[cnt]-1-cnt+P)%P;
		for (int j=i+i;j<N;j+=i)f[i]=(f[i]-f[j]+P)%P;
	}
	cout<<f[1];
	return 0;
}