巧算星期几

巧算星期几

 

基姆。拉尔森

基姆拥有计算机学科的博士学位。他对数据库，算法和数据结构有着浓厚的兴趣。他的联系地址是            （原文为丹麦文－－译者注） 31，DK－5270，Odense N,Denmark,或发 E-mail 至 :kslarsen@imada.ou.dk。

 

简介

布鲁斯 施耐尔

 

“四，六，九，十一，三十天就齐……”儿歌是这么唱的；或许你也曾经掰着手指头翻来覆去地数，让赶上单数的指头代表只有30天的短月吧？这样的口诀对我们是很管用的（我就是念叨着这首傻乎乎的儿歌长大的），可是电脑就没有这份“灵感”了。当然，我们可以用一大堆IF－THEN－ELSES的语句或几个CASE来编写计算程序，让它计算某个指定日期是星期几。

 

不过我更喜欢基姆拉尔森在本月的“算法小径”中为我们带来的新技巧，因为他的方法另辟蹊径，从一个全新的方向着手解决日期计算的问题。其实，并没有什么数学公式能算出某个指定日期是星期几，不过我们可以试着拼凑一个，如果我们的尝试成功了，你就能拥有一个易于编程的数学公式，并能用它自动计算哪天是星期几了。

 

顺便说一句，如果你已经设计出更巧妙的算法，或是在已有的方法上有了新突破的话，不妨告诉我，我一定洗耳恭听。我的联系方法是schneier@chinet.com，或者在DJJ编辑部给我留张便条就行。

 

你有没有疑惑过你的电脑怎么就知道今天是星期三呢？就算你的电脑关机了，你重启后设定了新日期，它也能立即知道这天是星期几。

 

在你还是个孩子的时候，你可能见过一种纪录记录着年，月，日的表格，只要加上几个数字，和它相连的另一张表格就会告诉你这个日期是星期几。当然，计算机硬盘的操作系统里也可以加入这样的计算表。不过有一种简单的方法可以轻松地算出某天是星期几；而且这个方法只占用很少的内存空间，而那些只能推算几百年的表格可就太占地方了。

 

如果目前你的电脑还不具备推算与日期对应的星期数的功能，现在就不妨在自己的程序中试试下面的公式。

 

 

创建公式

 

首先，我们要用变量D，M和Y来表示日期。比如，1994年3月1日就用“D＝1，M＝3，Y＝4”记录。我们的目标是让计算结果在0到6之间。0代表星期一，1代表星期二，2代表星期三，依此类推。

 

1994年3月1日是个星期二，那么“D mod 7(日期变量除以7的余数）)))”这个公式对于整个三月份都有效。比如3月18日是星期五，18 mod 7＝4；而4正代表星期五。别忘了，整数的除法和求模有着密切的关系。比方说，26除以7商3余5，这就是说，26除以7商数取整等于3，而26除以7求模（简写为26 mod 7）等于5。以上这些意味着19 mod 7=12 mod 7= 5 mod 7=5。在运算规则中，负数求模运算法相似，所以依此类推，-2 mod 7=5, -9 mod 7=5。

 

在更正式的表达法中，统一用任意整数n和k表达上述关系，那么这个过程可以表达为n=qk+r，这里的q和r的取值范围同样是整数和0。表1中列出了所有月份的变换数据（shift information此处试译为“档级数据”，还请进一步校对－－译者注）。为了尽可能地得出规律，二月被排在最后，同理，一月也是如此。

 

例1（a）中的公式是仿照表1中的变换数据栏所描述的模式而创建的。这个公式中的除法一律是商数取整。所以得数是最接近真正商数的整数。表2得出了此功能得出的有趣的数值。凭直觉，我们不难发现，当M(代表月份的变量)的值以1为单位递增时，2M就成倍增长，而3(M+1)/5就以3/5为增长倍数。

 

这正是我们仿制3,2,3,2,3这个重复格式所需要的（表中右边的弯括号表明了这一点）。请注意，我们在以7为除数求模，那么从6到2的求模结果就会逐个增加3（顺序是6,0,1,2）。

 

现在，我们发现了适用于逐月向下推算的校正方法，并希望把它加入刚才的尝试中，就是那个mod7公式。还以1994年3月1日为例，这个日期的M＝3。请注意，在例1（b）中，8 mod 7＝1，所以当整个公式合并时，必须减去1。在做以7为除数求模的运算时，减1和加6是一样的，因为-1 mod 7=6 mod 7=6。

 

这样，例1（c）中的公式就可以计算这一年中剩下的月份了。其实，既然我们把一月和二月排在表1的最后，那么只要我们把它们看成是十三月和十四月，就能接着推算1995年的前两个月了。这是因为，虽然它们并不是一个完整的3,2,3,2,3结构，但恰好可以是这个结构的开始，为了使这个公式更完善，我们还是最好把一月和二月看成是上一年的十三月和十四月。

 

 

加入年份

 

顺着年份向下找，我们观察到1995年3月1日是星期三。这说明，每增加一年，我们公式的计算结果就会增加1。这太简单了，我们只要简单地把年份加上去就行了。再提醒你一次，我们必须确保出发点是正确的。由于1994 mod 7=6，我们在把Y加入已有的公式时就必须减去6。由此改进的例2(a)就更完善了。

 

1996年是个闰年，这带来了我们的下一个问题。这一年的3月1日是星期五，而不是刚才的公式推算出的星期四。所以每当我们碰上闰年时还得多加上1。判断闰年的规则是，能被4整除，并能被100和400同时整除的年份就是闰年。就这样，我们在原有的基础上添加Y/4--Y/100+Y/400。再强调一下，我们必须从一开始就确保正确。既然(1994/4--1994/100+1994/400) mod 7=(498--19+4) mod 7=483 mod 7=0,所以就不用再做任何调整了。这样，例2(b)就是我们最终的成果了。这个公式能一直工作下去，除非改变现行的日历系统。作为示例，让我们试着推算一下2000年7月4日：(4+2*3+(7+1)/5+2000+2000/4--2000/100+2000/400) mod 7= (4+14+2000+500--20+5) mod 7=2507 mod 7=1，所以那一天是星期二。

 

这个公式还能推算过去的日期；然而计算范围有限，让我们看看1752年9月14号这个星期四吧，我们的公式最远只能推算到这里了。不过像“1963年11月22日你在哪里”这样的日常问题中提到的日期还是可以轻松应对的：(22+2*11+3(11+1)/5+1963+1963/4--1963/100+1963/400) mod 7=(22+22+7+1963+490--19+4) mod 7=2489 mod 7=4。那天就是星期五。

 

例3例子3是一个C语言程序，按照把这个公式自动推算给定日期是星期几。

 

 

 

表1：每月变换数据

月份         天数         变换

三月          31            3

四月          30            2

五月          31            3

六月          30            2

七月          31            3

八月          31            3

九月          30            2

十月          31            3

十一月        30            2

十二月        31            3

一月          31            3

二月          28            3

 

 

 

表2：仿制变换数据形式的功能。例1中建立的公式可以适用于1994年。例2把这个公式的功能扩展到可以应用在不同的年份进行推算。

 

例3：用C语言程序表达上述公式

/*计算指定日期是星期几。默认输入的*/

/*数字代表正确的日期*/

/* 推算给定日期是星期几，假定输入是正确的数据 *

#include 

char *name[] = { "Monday",

                 "Tuesday",

                 "Wednesday",

                "Thursday",

                "Friday",

                "Saturday",

                "Sunday"

               };

void main(){

  int D,M,Y,A;

  printf("Day: "); fflush(stdout);

  scanf("%d",&D);

  printf("Month: "); fflush(stdout);

  scanf("%d",&M);

  printf("Year: "); fflush(stdout);

  scanf("%d",&Y);

 

/* January and February are treated as month 13 and 14, */

/* respectively, from the year before.                  */

  if ((M == 1) || (M == 2)){

    M += 12;

    Y--;

  }

  A = (D + 2*M + 3*(M+1)/5 + Y + Y/4 - Y/100 + Y/400) % 7;

  printf("It's a %s.\n",name[A]);

}

 

/*一月和二月被当作前一年的*/

/*十三月和十四月分别处理*/

 

 

 ////

========================================================
    计算给定日期星期几好象是编程都会遇到的问题，最近论坛里也有人提到这个问题，并给出了一个公式：
    W= (d+2*m+3*(m+1)/5+y+y/4-y/100+y/400) mod 7
    (要求将1、2月当作上一年的13、14月来计算)

    去看了看这个公式的原帖            http://blog.csdn.net/ycrao/archive/2000/11/24/3825.aspx
    其讲述的过程并不清楚，便想怎样自己推导出一个公式来，花了几个小时，总算是弄出来了，结果跟上面的公式一样：)
========================================================

下面我们完全按自己的思路由简单到复杂一步步进行推导……

推导之前，先作两项规定：
①用 y, m, d, w 分别表示 年 月 日 星期(w=0-6 代表星期日-星期六
②我们从 公元0年1月1日星期日 开始


一、只考虑最开始的 7 天，即 d = 1---7 变换到 w = 0---6
    很直观的得到:
    w = d-1

二、扩展到整个1月份
    模7的概念大家都知道了，也没什么好多说的。不过也可以从我们平常用的日历中看出来，在周历里边每列都是一个按7增长的等差数列，如1、8、15、22的星期都是相同的。所以得到整个1月的公式如下：
    w = (d-1) % 7  --------- 公式⑴

三、按年扩展
    由于按月扩展比较麻烦，所以将年扩展放在前面说

    ① 我们不考虑闰年，假设每一年都是 365 天。由于365是7的52倍多1天，所以每一年的第一天和最后一天星期是相同的。
    也就是说下一年的第一天与上一年的第一天星期滞后一天。这是个重要的结论，每过一年，公式⑴会有一天的误差，由于我们是从0年开始的，所以只须要简单的加上年就可以修正扩展年引起的误差，得到公式如下：
    w = (d-1 + y) % 7 

    ② 将闰年考虑进去
    每个闰年会多出一天，会使后面的年份产生一天的误差。如我们要计算2005年1月1日星期几，就要考虑前面的已经过的2004年中有多少个闰年，将这个误差加上就可以正确的计算了。
    根据闰年的定义(能被4整但不能被100整除或能被400整)，得到计算闰年的个数的算式：y/4 - y/100 + y/400。
    由于我们要计算的是当前要计算的年之前的闰年数，所以要将年减1，得到了如下的公式：
    w = [d-1+y + (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7 -----公式⑵

    现在，我们得到了按年扩展的公式⑵，用这个公式可以计算任一年的1月份的星期

四、扩展到其它月
    考虑这个问题颇费了一翻脑筋，后来还是按前面的方法大胆假才找到突破口。

    ①现在我们假设每个月都是28天，且不考虑闰年
    有了这个假设，计算星期就太简单了，因为28正好是7的整数倍，每个月的星期都是一样的，公式⑵对任一个月都适用 ：)

    ②但假设终究是假设，首先1月就不是28天，这将会造成2月份的计算误差。1月份比28天要多出3天，就是说公式⑵的基础上，2月份的星期应该推后3天。
    而对3月份来说，推后也是3天(2月正好28天，对3月的计算没有影响)。
    依此类推，每个月的计算要将前面几个月的累计误差加上。
    要注意的是误差只影响后面月的计算，因为12月已是最后一个月，所以不用考虑12月的误差天数，同理，1月份的误差天数是0，因为前面没有月份影响它。

    由此，想到建立一个误差表来修正每个月的计算。
==================================================
月  误差 累计  模7
1   3    0     0
2   0    3     3
3   3    3     3
4   2    6     6
5   3    8     1
6   2    11    4
7   3    13    6
8   3    16    2
9   2    19    5
10  3    21    0
11  2    24    3
12  -    26    5
    (闰年时2月会有一天的误差，但我们现在不考虑)
==================================================

    我们将最后的误差表用一个数组存放
    在公式⑵的基础上可以得到扩展到其它月的公式

    e[] = {0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5}
    w = [d-1+y + e[m-1] + (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7 --公式⑶

    ③上面的误差表我们没有考虑闰年，如果是闰年，2月会一天的误差，会对后面的3-12月的计算产生影响，对此，我们暂时在编程时来修正这种情况，增加的限定条件是如果当年是闰年，且计算的月在2月以后，需要加上一天的误差。大概代码是这样的：
    
    w = (d-1 + y + e[m-1] + (y-1)/4 - (y-1)/100 + (y-1)/400);
    if(m>2 && (y%4==0 && y%100!=0 || y%400==0) && y!=0)
        ++w;
    w %= 7;
    
    现在，已经可以正确的计算任一天的星期了。
    注意：0年不是闰年，虽然现在大都不用这个条件，但我们因从公元0年开始计算，所以这个条件是不能少的。

    ④ 改进
    公式⑶中，计算闰年数的子项 (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400 没有包含当年，如果将当年包含进去，则实现了如果当年是闰年，w 自动加1。
    由此带来的影响是如果当年是闰年，1,2月份的计算会多一天误差，我们同样在编程时修正。则代码如下
    
    w = (d-1 + y + e[m-1] + y/4 - y/100 + y/400); ---- 公式⑷
    if(m<3 && (y%4==0 && y%100!=0 || y%400==0) && y!=0)
        --w;
    w %= 7;
    
    与前一段代码相比，我们简化了 w 的计算部分。
    实际上还可以进一步将常数 -1 合并到误差表中，但我们暂时先不这样做。
    
    至此，我们得到了一个阶段性的算法，可以计算任一天的星期了。

public class Week {
    public static void main(String[] args){
        int y = 2005;
        int m = 4;
        int d = 25;
        
        int e[] = new int[]{0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5};
        int w = (d-1+e[m-1]+y+(y>>2)-y/100+y/400);
        if(m<3 && ((y&3)==0 && y%100!=0 || y%400==0) && y!=0){
            --w;
        }
        w %= 7;
        
        System.out.println(w);
    }
}

五、简化
    现在我们推导出了自己的计算星期的算法了，但还不能称之为公式。
    所谓公式，应该给定年月日后可以手工算出星期几的，但我们现在的算法需要记住一个误差表才能进行计算，所以只能称为一种算法，还不是公式。
    下面，我们试图消掉这个误差表……

    =============================
    消除闰年判断的条件表达式
    =============================

    由于闰年在2月份产生的误差，影响的是后面的月份计算。如果2月是排在一年的最后的话，它就不能对其它月份的计算产生影响了。可能已经有人联想到了文章开头的公式中为什么1,2月转换为上年的13,14月计算了吧 ：)

    就是这个思想了，我们也将1,2月当作上一年的13,14月来看待。
    由此会产生两个问题需要解决：
    1>一年的第一天是3月1日了，我们要对 w 的计算公式重新推导
    2>误差表也发生了变化，需要得新计算

    ①推导 w 计算式
      1> 用前面的算法算出 0年3月1日是星期3
         前7天, d = 1---7  ===>  w = 3----2
         得到 w = (d+2) % 7
         此式同样适用于整个三月份