[ARC140D] One to One

神奇计数题。

先将所有确定的边连起来，一个比较关键的点是，将每个方案的贡献摊到每一个环上，即统计每个可能的环的方案数。设 \(a_i=-1\) 的数量为 \(num\)。

对于基环树来说，不论其他点怎么选这个环都存在，贡献为 \(n^{num}\)。

对于若干树构成的环来说，这种环有 $(t-1)!\prod \limits_{i=1}^t sz_i $ 个，对于每一个环，贡献为 \(n^{num-t}\)。

将树的贡献放到 dp 里面即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 2005
#define fr first
#define se second
#define p 998244353
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
ll ans,fac[N],mi[N],f[N][N];
int n,m,num,a[N],vis[N];
basic_string<int> G[N];
pii dfs(int u){
    vis[u]=1;pii ans={1,G[u].size()};
    for(int v:G[u])if(!vis[v]){
        pii x=dfs(v);
        ans.fr+=x.fr;ans.se+=x.se;
    }return ans;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    mi[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)mi[i]=mi[i-1]*n%p;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        if(a[i]==-1)++num;
        else G[i]+=a[i],G[a[i]]+=i;//printf("%d %d\n",a[i],i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i]){
        pii x=dfs(i);
        if(x.fr==x.se/2)ans+=mi[num]%p;
        else a[++m]=x.fr;
    }
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        f[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=m;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*a[i])%p;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        ans=(ans+f[m][i]*fac[i-1]%p*mi[m-i]%p)%p;
    printf("%lld",ans);
}