[AGC023E] Inversions

考虑合法序列的方案数，将 $a_{i}$ 排序为 $c_{i}$ ， $a_{i}$ 在 $c$ 中的位置为 $b_{i}$ ，答案为 $\prod_{i = 1}^{n} (c_{i} - i + 1)$ ，我们记为 $t o t$ 。

逆序对考虑拆成每两个位置 $(i, j)$ 之间的贡献，考虑有多少情况对于 $i < j$ 使得 $p_{i} > p_{j}$ 。

对于 $j < i, a_{j} < a_{i}$ ，贡献为：

\frac{t o t \times \frac{a_{j} - b_{j}}{a_{i} - b_{i} + 1} \prod_{k = b_{j} + 1}^{b_{i} - 1} \frac{c_{k} - k}{c_{k} - k + 1}}{2}

这个柿子的含义是，我们将 $a_{i} := a_{j}$ ，然后重新排列 $a$ 后的合法序列数量，由于 $p_{i}, p_{j}$ 互相换了序列依然合法，且我们只需要 $p_{i} > p_{j}$ 的答案，所以再除以 $2$ 。

同时对于 $i < j, a_{j} < a_{i}$ ，我们计算顺序对的贡献，然后用总方案数减去即可，也就是：

t o t - \frac{t o t \times \frac{a_{j} - b_{j}}{a_{i} - b_{i} + 1} \prod_{k = b_{j} + 1}^{b_{i} - 1} \frac{c_{k} - k}{c_{k} - k + 1}}{2}

我们稍微化简一下最上面的柿子：（下面的一样）

\frac{t o t}{2 (a_{i} - b_{i} + 1)} \times (a_{j} - b_{j}) \times \prod_{k = b_{j} + 1}^{b_{i} - 1} \frac{c_{k} - k}{c_{k} - k + 1}

按照 $b_{i}$ 从小到大遍历 $i$ ，用线段树维护每一个 $j$ 对应的答案即可，复杂度 $O (n \log n)$ 。

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
#define N 200005
#define ls u<<1
#define rs u<<1|1
#define p 1000000007
#define ll long long
int n,a[N],b[N],c[N],d[N];
ll tr[N<<2],tag[N<<2],all=1,ans;
inline ll qpow(ll a,int b){ll ans=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)ans=ans*a%p;return ans;}
inline void pushtag(int u,ll x){tr[u]=tr[u]*x%p,tag[u]=tag[u]*x%p;}
inline void push(int u){if(tag[u]!=1)pushtag(ls,tag[u]),pushtag(rs,tag[u]),tag[u]=1;}
inline void pull(int u){tr[u]=(tr[ls]+tr[rs])%p;}
void build(int u,int l,int r){
	tr[u]=0,tag[u]=1;
	if(l==r)return;
	int m=(l+r)>>1;
	build(ls,l,m);build(rs,m+1,r);
}
void upd(int u,int l,int r,int x,ll y){
	if(l==r)return tr[u]=y,void();
	int m=(l+r)>>1;push(u);
	if(m>=x)upd(ls,l,m,x,y);
	else upd(rs,m+1,r,x,y);
	pull(u);
} 
ll qry(int u,int l,int r,int L,int R){
	if(L<=l&&r<=R)return tr[u];
	int m=(l+r)>>1;push(u);ll ans=0;
	if(m>=L)ans=(ans+qry(ls,l,m,L,R))%p;
	if(m<R) ans=(ans+qry(rs,m+1,r,L,R))%p;
	return ans;
}
int t[N];
inline void add(int x){for(int i=x;i<=n;i+=(i&-i))++t[i];}
inline int  ask(int x){int ans=0;for(int i=x;i;i-=(i&-i))ans+=t[i];return ans;}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),d[i]=i;
	sort(d+1,d+1+n,[](const int x,const int y){return a[x]<a[y];});
	for(int i=1;i<=n;i++)b[d[i]]=i,c[i]=a[d[i]];
	for(int i=1;i<=n;i++)all=all*(c[i]-i+1)%p;
	build(1,1,n);
	for(int k=1;k<=n;k++){
		int i=d[k];
		ans=(ans+qry(1,1,n,1,i)*all%p*qpow(2*(a[i]-b[i]+1),p-2)%p)%p;
		ans=(ans+(ask(n)-ask(i))*all%p-qry(1,1,n,i,n)*all%p*qpow(2*(a[i]-b[i]+1),p-2)%p+p)%p;
		pushtag(1,(c[k]-k)*qpow(c[k]-k+1,p-2)%p);
		upd(1,1,n,i,a[i]-b[i]);
		add(i);
	}
	printf("%lld",ans);
}