CF285E Positions in Permutations
这题的思路跟这题差不多
设 f[i][j][0/1][0/1] 到第 i 位,有至少 j 个位置满足条件
且数字 i 有 / 没有用过,数字 i + 1 有 / 没有用过
每次转移的时候就选择是否是这个位置满足条件
让他满足条件的话就从之前的没有填过 i - 1 的状态转移过来
让他不满足条件就填上一个空数字
只要在最后乘上一个 空数字总数的阶乘 就是想要的排列个数了
但是这样在某个排列中可能还会多出一些符合条件的位置
但至少 j 个是有保证的
这样最后就可以计算出来至少有 j 个满足条件的方案数
再容斥一下就好了
就是 ans = 至少 k 个 - C(k + 1, k) * 至少 (k + 1) 个 + C(k + 2, k) * 至少选 (k + 2) 个 - ...
一直算到 n 就好了,因为总长是 n 的
代码:
#include <algorithm> #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cctype> using namespace std; typedef long long ll; const int MAX_N = 1005; const ll mod = 1000000007ll; int n, k; int pi[MAX_N], C[MAX_N][MAX_N]; int f[MAX_N][MAX_N][2][2], at_least[MAX_N]; inline void add(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; return; } int main() { scanf("%d%d", &n, &k); pi[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; ++i) pi[i] = int(1ll * pi[i - 1] * i % mod); f[0][0][1][0] = 1; for (int i = 1; i <= n; ++i) { register int maxj = min(i, n); for (int j = 0; j <= maxj; ++j) { add(f[i][j][0][0], int(1ll * (f[i - 1][j][0][0] + f[i - 1][j][1][0]) % mod)); add(f[i][j][1][0], (f[i - 1][j][0][1] + f[i - 1][j][1][1]) % mod); add(f[i][j + 1][0][0], f[i - 1][j][0][0]); add(f[i][j + 1][1][0], f[i - 1][j][0][1]); add(f[i][j + 1][0][1], int(1ll * (f[i - 1][j][0][0] + f[i - 1][j][1][0]) % mod)); add(f[i][j + 1][1][1], int(1ll * (f[i - 1][j][0][1] + f[i - 1][j][1][1]) % mod)); } } for (int i = 0; i <= n; ++i) at_least[i] = 1ll * (f[n][i][0][0] + f[n][i][1][0]) % mod * pi[n - i] % mod; for (int i = 0; i <= n; ++i) { C[i][0] = C[i][i] = 1; for (int j = 1; j < i; ++j) C[i][j] = int(1ll * (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % mod); } int ans = at_least[k]; for (int i = k + 1; i <= n; ++i) { ans = (1ll * (ans + (((i - k) & 1) ? -1ll : 1ll) * C[i][k] * at_least[i]) % mod + mod) % mod; } printf("%d\n", ans); return 0; }
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