P5774 [JSOI2016]病毒感染

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大致题意

有\(N\)个小镇爆发了疫情,其中第\(i\)个小镇每天会死\(a_i\)个人,现在从第一个小镇出发,每一天可以选择:

• 走向一个相邻的村庄,若往左走,则必须把之前所有未治愈村庄全部治愈

• 治疗目前所在的村庄,这一天内该村庄内不会有任何人死去

求最少死亡人数

\(n≤3000,a_i≤10^9\)

分析

可以发现,每个村庄只可能在第一次被经过或第二次被经过时治愈被治愈,换句话说,在区间\([l,r]\)进行一次往返走\((l \Rightarrow r \Rightarrow l \Rightarrow r)\)可以治愈该区间内的所有村庄,并且总过程就是由一连串的"往返走"组成的

不妨先设\(f(i)\)表示治疗前\(i\)个村庄的最少死亡人数,\(v(i,j)\)表示在区间\([l,r]\)进行一次往返走后该区间的最少死亡人数,转移也比较好推,就是细节比较多:

$f(i) = min \{f(j)+(4×(i-j)+2)×\sum\limits_{x=i+1}^n+v(i+1,j)\}(0≤j＜i)$

显然这个\(v(i,j)\)也是可以用\(DP\)预处理出来的,分类讨论治愈的时间,有转移:

$v(i,j) = v(i+1,j)+ \begin{cases}2×\sum\limits_{x=i+1}^ja_x\\3×(j-i)×a_i+\sum\limits_{x=i+1}^ja_x\end{cases}$

时间复杂度\(O(n^2)\)

\(code\)

//xcxc82 2021/1/19/22:03
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN = 3010;
inline int read(){
	int X=0; bool flag=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') flag=0; ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {X=(X<<1)+(X<<3)+ch-'0'; ch=getchar();}
	if(flag) return X;return ~(X-1);
}
int n,a[MAXN];
int v[MAXN][MAXN],sum[MAXN]; 
int f[MAXN];
signed main(){
   n =read();
   for(int i=1;i<=n;i++) a[i] = read(),sum[i] = sum[i-1]+a[i];
   memset(f,0x3f,sizeof(f));
   memset(v,0x3f,sizeof(v));
   f[0]=0;
   for(int i=1;i<=n;i++){
		v[i][i] = 0;
	}
	for(int len=1;len<=n-1;len++){
		 for(int i=1;i+len<=n;i++){
			int j=i+len;
			v[i][j] = v[i+1][j]+min(2*(sum[j]-sum[i]),a[i]*3*len+sum[j]-sum[i]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<i;j++){
			f[i] = min(f[j]+v[j+1][i]+(4*(i-j)-2)*(sum[n]-sum[i]),f[i]);
		}
	}
	printf("%lld",f[n]);
   return 0;
}