SP263 PERIOD - Period
题目描述
如果一个字符串\(S\)是由一个字符串\(T\)重复\(K\)次形成的，则称\(T\)是\(S\)的循环元。使\(K\)最大的字符串\(T\)称为\(S\)的最小循环元，此时的\(K\)称为最大循环次数。
现给一个给定长度为N的字符串\(S\)，对\(S\)的每一个前缀\(S[1\)~\(i]\)，如果它的最大循环次数大于\(1\)，则输出该前缀的长度和最大循环次数。
分析
引理
\(S[1\)-\(i]\)具有长度\(len<i\)的循环元的充要条件是\(len\)能整除\(i\)并且\(S[len+1\)-\(i]=S[1\)~\(i-len]\)(即\(i-len\)是\(KMP\)算法中\(next[i]\)的"候选择")
证明:
首先,\(len\)能作为\(S\)的循环元,必须满足\(len\)能整除\(i\),且\(S[len+1\)-\(i]\)和\(S[1\)-\(i-len]\)都是由\(i/len-1\)个循环元构成的,即\(S[len+1\)-\(i]=S[1\)-\(i-len]\)
其次,分别从\(S[len+1\)-\(i]\)和\(S[1\)-\(i-len]\)取前\(len\)个字符,可以发现\(S[len+1\)-\(2*len]\) \(=\) \(S[1\)-\(len]\),依此类推,可以发现\(S[len+1\)-\(i]\)和\(S[1\)-\(i-len]\)是以\(len\)为间隔错位对齐的,故\(S[1\)-\(len]\)是\(S\)的循环元
证毕
\(code\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1000010;
int n;
int next[MAXN];
char s[MAXN],s2[MAXN];
void pre(){
int j = 0;
for(int i=2;i<=n;i++){
while(j>0&&s[i]!=s[j+1]) j = next[j];
if(s[i]==s[j+1]) j++;
next[i] = j;
}
}
int main(){
int t;
cin>>t;
int now = 0;
while(t--){
now++;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
pre();
printf("Test case #%d\n", now);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(i%(i-next[i])==0&&i/(i-next[i])>1){
cout<<i<<" "<<i/(i-next[i])<<endl;
}
}
}
参考资料
《算法竞赛进阶指南》-李煜东
