洛谷 ⑨ 月月赛

T1

良心满满的送分水题

直接贪心即可

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T2

大致题意

有一个带权方格图,给一个起点\(A\),两个终点\(B\)和\(C\),求从\(A\)到\(B\)和\(C\)的两条路径的并集的电阻计量值的和最小。

分析

考虑到不可能有两个分岔口,直接跑三遍最短路,枚举分岔口即可

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T3

T3

大致题意

有 \(n\) 节点，每个点都向\([n-1,n-k]\) 中的任意一个点连边。每次可以选择一个连通块权值都减 \(1\)，求使得所有节点权值都变成 \(0\) 的最小次数的数学期望。

分析

把树换成链,就成了一道经典题了 P5019 铺设道路

拓展到树上,也就是把前后关系换成了父子关系

若一个点的权值比它父亲权值的大,那么在其父亲减完后两点会断开,会增加\(a_v - a_u\)个操作次数,反之不会增加操作次数

对答案的贡献即为:\(\dfrac{\sum_{j=i-k}^{i-1} (a_i-a_j)}{k}(a_i>a_j)\)

对于每个节点,相当于是要求\([max(1,i-k),i-1]\)中小于\(a_i\)的个数,且每个节点能连的点是序列上连续的一段,考虑使用树状数组来维护

使用树状数组来维护点数和和权值和即可

关于T3题目背景

【东方MMD】琪露诺想要理解成熟

10.9补
补档原作者不知道为啥把视频删了...

参考资料:

洛谷9月月赛 题解（模拟+最短路+期望DP+期望DP）_OceanLiu

某古 9 月月赛 I 游记-xiaolilsq

T4

题意

原题面

有\(n\)个点，形成一条单链图，并在其中加入\(m\)条返祖边

现在从1号节点出发，每次等概率的前往到一个相邻的节点，求走到第\(n+1\)个点的期望步数

\(n,m≤10^6\)

分析

设\(E_{x→y}\)表示从\(x\)点走到\(y\)点的期望步数，\(k_i\)表示第\(i\)个点的返祖边条数

有转移：

$E_{x→x+1} = \dfrac{1}{k+1}×1+\dfrac{1}{k+1}×\sum\limits_{(x,y)∈E}E_{y→x+1}+1$ $= 1+\dfrac{1}{k+1}×\sum\limits_{(x,y)∈E}E_{y→x+1}$

根据期望的线性性质,有\(E_{x→y} =\sum\limits_{i=x}^{y-1}E_{i→i+1}\),代回原式：

$E_{x→x+1} = 1+\dfrac{1}{k+1}×\sum\limits_{(x,y)∈E}\sum\limits_{i=y}^{x-1}E_{i→i+1}+\dfrac{k×E_{x→x+1}}{k+1}$ $E_{x→x+1} = 1+k+\sum\limits_{(x,y)∈E}\sum\limits_{i=y}^{x-1}E_{i→i+1}$

维护一下前缀和即可,\(\sum\limits_{i=x}^{y-1}E_{i→i+1}\)既为所求答案

时间复杂度\(O(n+m)\)

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