P4180 [BJWC2010]严格次小生成树
P4180 [BJWC2010]严格次小生成树
大致题意
给一张带权无向图,求其严格次小生成树大小
分析
定义
-
次小生成树
无向图中,边权和最小的满足边权和 大于等于 最小生成树边权和的生成树
严格次小生成树即为边权和最小的满足边权和 严格大于 最小生成树边权和的生成树
求法
-
先求出无向图的最小生成树,设其权值和为\(S\)
-
枚举每条不在最小生成树中的边\(e = (u,v,w)\),将其加入生成树,同时去掉从\(u\)到\(v\)的路径上权值最大的一条边\(e_{max}\),以确保不存在环且其权值和次小
得到的新生成树权值和即为\(S+e.w - e_{max}.w\)
代码实现
使用树链剖分来维护两个值\(:\)区间最大值和区间严格次大值
设\(max1_{l,r}\)表示区间\([l,r]\)中的最大值,\(max2_{l,r}\)表示区间\([l,r]\)中的严格次大值
当\(max1_{l,mid}==max1_{mid+1,r}\)时:
\(max2_{l,r}\)取左右区间中的较大的严格次大值
- \(max2_{l,r} = max(max2_{l,mid},max2_{mid+1,r})\)
反之,当\(max1_{l,mid} != max1_{mid+1,r}\)时:
\(max2_{l,r}\)取左右区间中的较小的最大值
- \(max2_{l,r} = min(max1_{l,mid},max1_{mid+1,r})\)
若最大值不等于当前所换的边的大小,直接用最大值来替换
反之,说明不满足严格小于,用次大值来替换
\(code:\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//--------------------------------------------------------------------------------other
#define lson (node<<1)
#define rson (node<<1|1)
const int MAXN = 2e5+5,MAXM = 3e5+10;
#define int long long
int head[MAXN<<1];
struct e{
int next,v,w;
}edge[MAXN<<1];
int cnt = 0;
int n,m,fa[MAXN];
int sum = 0;
bool vis[MAXM];
void add(int u,int v,int w){
edge[++cnt].v = v;
edge[cnt].w = w;
edge[cnt].next = head[u];
head[u] = cnt;
}
int find(int x){
if(fa[x]==x) return x;
else return fa[x] = find(fa[x]);
}
struct id{
int u,v,w;
bool operator < (const id &k)const{
return w<k.w;
}
}a[MAXN<<2];
void kruskal(){
int Tot = 0;
for(int i=1;i<=m;i++){
int f1 = find(a[i].u);
int f2 = find(a[i].v);
if(f1!=f2){
vis[i] = 1;
fa[f1] = f2;
add(a[i].u,a[i].v,a[i].w),add(a[i].v,a[i].u,a[i].w);
sum+=a[i].w;
Tot++;
}
if(Tot == n-1) break;
}
}
//--------------------------------------------------------------------------------other
int dep[MAXN],son[MAXN],faa[MAXN],size[MAXN],w[MAXN];
int id[MAXN],val[MAXN],tot = 0,top[MAXN];//预处理数组
//--------------------------------------------------------------------------------线段树
struct st{
int max1,max2,l,r;
}tree[MAXN<<2];
void pushup(int node){
tree[node].max1 = max(tree[lson].max1,tree[rson].max1);
if(tree[lson].max1==tree[rson].max1){
tree[node].max2 = max(tree[lson].max2,tree[rson].max2);
}
else tree[node].max2 = min(tree[lson].max1,tree[rson].max1);
}
void build(int node,int l,int r){
tree[node].l = l,tree[node].r = r;
if(l==r){
tree[node].max1 = val[l];
return;
}
int mid = (l+r)>>1;
build(lson,l,mid);
build(rson,mid+1,r);
pushup(node);
}
pair<int,int> unit(pair<int,int> l,pair<int,int> r){
pair<int,int> f;
f.first = max(l.first,r.first);
if(l.first==r.first) f.second = max(l.second,r.second);
else f.second = min(l.first,r.first);
return f;
}
pair<int,int> query(int node,int l,int r){
if(l<=tree[node].l&&r>=tree[node].r){
return make_pair(tree[node].max1,tree[node].max2);
}
int mid = (tree[node].l+tree[node].r)>>1;
if(r<=mid) return query(lson,l,r);
if(l>mid) return query(rson,l,r);
return unit(query(lson,l,r),query(rson,l,r));
}
//--------------------------------------------------------------------------------线段树
//--------------------------------------------------------------------------------dfs
void dfs1(int u,int f,int deep){
dep[u] = deep;
faa[u] = f;
size[u] = 1;
int maxson = -1;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
int v = edge[i].v;
if(v==f) continue;
w[v] = edge[i].w;
dfs1(v,u,deep+1);
size[u]+=size[v];
if(size[v]>maxson){
son[u] = v;
maxson = size[v];
}
}
}
void dfs2(int u,int topf){
id[u] = ++tot;
val[tot] = w[u];
top[u] = topf;
if(!son[u]) return;
dfs2(son[u],topf);
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
int v = edge[i].v;
if(v==son[u]||v==faa[u]) continue;
dfs2(v,v);
}
}
//--------------------------------------------------------------------------------dfs
//--------------------------------------------------------------------------------查询
pair<int,int> qb(int u,int v){
pair<int,int> res;
while(top[u]!=top[v]){
if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
res = unit(res , query(1,id[top[u]],id[u]));
u = faa[top[u]];
}
if(u!=v){
if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
res = unit(res , query(1,id[u]+1,id[v]));
}
return res;
}
//--------------------------------------------------------------------------------查询
signed main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>a[i].u>>a[i].v>>a[i].w;
if(a[i].u==a[i].v) vis[i] = 1;
}
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i] = i;
sort(a+1,a+1+m);
kruskal();
dfs1(1,0,1);
dfs2(1,1);
build(1,1,n);
int ans = 1e18;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(vis[i]) continue;//在树中或为自环
pair<int,int> maxn = qb(a[i].u,a[i].v);//最大值,次大值
if(maxn.first<a[i].w) ans = min(ans , sum+a[i].w-maxn.first);
else if(maxn.second<a[i].w&&maxn.second) ans = min(ans , sum+a[i].w-maxn.second); //存在严格次大值
}
cout<<ans;
}
