3分钟了解红黑树
1. 简介
红黑树也是一种自平衡二叉查找树，具有二叉树的特点，又与平衡二叉树有区别，主要区别在于红黑树的“平衡”不再是"左右子树高度之差不大于1"，全部体现在其定义中。它的统计性能要好于平衡二叉树（AVL树），因此，红黑树在很多地方都有应用。在C++ STL中，很多部分(目前包括set, multiset, map, multimap)应用了红黑树的变体(SGI STL中的红黑树有一些变化，这些修改提供了更好的性能，以及对set操作的支持)。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除等操作。
本文介绍了红黑树的基本性质和基本操作。读者应对平衡二叉树事先有所了解，再来了解红黑树可以更方便些？若有疑问，建议带着疑问全篇看一遍先。
2. 红黑树的性质
红黑树，顾名思义，通过红黑两种颜色域保证树的高度近似平衡。它的每个节点是一个五元组：color（颜色），key（数据），left（左孩子），right（右孩子）和p（父节点）。
红黑树的定义也是它的性质，有以下五条：
性质1. 节点是红色或黑色
性质2. 根是黑色
性质3. 所有叶子都是黑色（叶子是NIL节点）
性质4. 如果一个节点是红的，则它的两个儿子都是黑的
性质5. 从任一节点向下到任一叶子的所有简单路径都包含相同数目的黑色节点。
这五个性质规定了红黑树的一个关键特性: 任一棵子树的根到叶子的最长路径不多于最短路径的两倍长。
为什么呢？性质4暗示着任何一个简单路径上不能有两个毗连的红色节点，这样，最短的可能路径全是黑色节点，最长路径可能有交替的红色和黑色节点。结合性质5可知：从子树根到叶子的简单路径都有相同数目的黑色节点，而红色节点个数总是不多于黑色节点数。这就表明了没有一条简单路径长度能大于其他路径长度的两倍。
在最坏情况下，每次插入或删除节点，最多只需要3步的旋转就可以调整红黑树为合法状态。这是其他平衡树可能所不具备的。
3. 红黑树的基本操作
因为红黑树也是二叉查找树，因此红黑树上的查找操作与普通二叉查找树上的查找操作相同。然而，红黑树上的插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。恢复红黑树的性质需要少量节点的颜色变更和树旋转，但也是复杂度为 O(log n)，只是从统计上性能好一点而已。
3.1 插入操作
插入操作可以概括为以下几个步骤：
(1) 查找要插入的位置，时间复杂度为：O(logN)
(2) 将新节点的color赋为红色
(3) 自下而上重新调整该树为红黑树
其中，第(1)步的查找方法跟普通二叉查找树一样，第(2)步之所以将新插入的节点的颜色赋为红色，是因为：如果设为黑色，就会导致根到叶子的路径上有一条路上，多一个额外的黑节点，这个是很难调整的。但是设为红色节点后，可能会导致出现两个连续红色节点的冲突，那么可以通过颜色调换（color flips）和树旋转来调整，这样简单多了。下面讨论步骤(3)的一些细节：
设要插入的节点为N，其父节点为P，P的兄弟节点为U（即P和U是同一个节点的孩子）。
[1] 如果P是黑色的，则整棵树不必调整便是红黑树。
[2] 如果P是红色的（可知，其父节点G一定是黑色的），则插入N后，违背了性质4，需要进行调整。调整时分以下3种情况：
（a）N的叔叔U是红色的
如上图所示，我们将P和U重绘为黑色并重绘节点G为红色(用来保持性质5)。现在新节点N有了一个黑色的父节点P，因为通过父节点P或叔父节点U的任何路径都必定通过祖父节点G，在这些路径上的黑节点数目没有改变。但是，红色的祖父节点G的父节点也有可能是红色的，这就违反了性质4。为了解决这个问题，我们在祖父节点G上递归调整颜色。
（b）N的叔叔U是黑色的，且N是右孩子
如上图所示，我们对P进行一次左旋转调换新节点和其父节点的角色; 接着，按情形(c)处理就行了，此时是P节点需要调整。
（c）N的叔叔U是黑色的，且N是左孩子
如上图所示，对祖父节点G 的一次右旋转; N和G在同一层且变成红色，P成为该子树新根且为黑色，这样已经满足红黑树性质，无需考虑向上会不会冲突。
3.2 删除操作
删除操作可以概括为以下几个步骤：
(1) 查找要删除位置，时间复杂度为：O(logN)
(2) 用删除节点后继或者节点替换该节点（只进行数据替换即可，不必调整指针，后继节点是中序遍历中紧挨着该节点的节点，即：右孩子的最左孩子节点）
(3) 如果删除节点的替换节点为黑色，则需重新调整该树为红黑树
其中，第(1)步的查找方法跟普通二叉查找树一样，第(2)步之所以用后继节点替换删除节点，是因为这样可以保证该后继节点之上仍是一个红黑树，而后继节点可能是一个叶节点或者只有右子树的节点，这样只需用有节点替换后继节点即可达到删除的目的。如果需要删除的节点有两个儿子，那么问题可以被转化成删除另一个只有一个儿子的节点的问题。（没看懂？？？可参考：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A2%E9%BB%91%E6%A0%91 ）在第(3)步中，如果，如果删除节点为红色节点，则他的父亲和孩子全为黑节点，这样直接删除该节点即可，不必进行任何调整。如果删除节点是黑节点，分四种情况：
设要删除的节点为N，其父节点为P，其兄弟节点为S。
由于N是黑色的，则P可能是黑色的，也可能是红色的，S也可能是黑色的或者红色的
（1）S是红色的
此时P肯定是红色的。我们对N的父节点进行左旋转，然后把红色兄弟转换成N的祖父。我们接着对调 N 的父亲和祖父的颜色。尽管所有的路径仍然有相同数目的黑色节点，现在 N 有了一个黑色的兄弟和一个红色的父亲，所以我们可以接下去按 (2)、(3)或(4)情况来处理。
（2）S和S的孩子全是黑色的
在这种情况下，P可能是黑色的或者红色的，我们简单的重绘S 为红色。结果是通过S的所有路径，它们就是以前不通过 N 的那些路径，都少了一个黑色节点。因为删除 N 的初始的父亲使通过 N 的所有路径少了一个黑色节点，这使事情都平衡了起来。但是，通过 P 的所有路径现在比不通过 P 的路径少了一个黑色节点。接下来，要调整以P作为N递归调整树。
（3）S是黑色的，S的左孩子是红色，右孩子是黑色
这种情况下我们在 S 上做右旋转，这样 S 的左儿子成为 S 的父亲和 N 的新兄弟。我们接着交换 S 和它的新父亲的颜色。所有路径仍有同样数目的黑色节点，但是现在 N 有了一个右儿子是红色的黑色兄弟，所以我们进入了情况（4）。N 和它的父亲都不受这个变换的影响。
（4）S是黑色的，S的右孩子是红色
在这种情况下我们在 N 的父亲上做左旋转，这样 S 成为 N 的父亲和 S 的右儿子的父亲。我们接着交换 N 的父亲和 S 的颜色，并使 S 的右儿子为黑色。子树在它的根上的仍是同样的颜色，所以属性 3 没有被违反。但是，N 现在增加了一个黑色祖先: 要么 N 的父亲变成黑色，要么它是黑色而 S 被增加为一个黑色祖父。所以，通过 N 的路径都增加了一个黑色节点。
