HYSBZ 1010 玩具装箱toy （决策单调DP）
题意：
有n个玩具，要将它们分为若干组，玩具长度C可能不同。给出n个玩具的摆放顺序，连续的任意多个玩具都可以成为一组。区间[i,j]成为一组的费用是cost=(j-i+Sigma(Ck)-L)2且i<=k<=j。给定n和L和每个玩具的长度，问分组后费用总和是多少? (n<=5*104)。
思路：
转移方程：dp[i]=min( dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j+1-L)2 )。sum[i]表示前i件玩具长度的总和，0<j<i，（i-j+1）表示与i同组的玩具个数。
根据方程是可以推出这题是满足决策单调性的。以下是抄来的证明，稍微修改：
令f[i]=sum[i]+i, c=1+L，则dp[i]=min( dp[j]+(f[i]-f[j]-c)2 )
1.证明决策单调性
假设在状态i处的k决策优于j决策，且j<k，那么 dp[k]+(f[i]-f[k]-c)2<=dp[j]+(f[i]-dp[j]-c)2。
而对于i后面的某个状态t，设f[t]=f[i]+v，先不管v是多少。
要证明：dp[k]+(f[t]-f[k]-c)2<=dp[j]+(f[t]-f[j]-c)2
只要证(将f[t]=f[i]+v代入)：dp[k]+(f[i]+v-f[k]-c)2<=dp[j]+(f[i]+v-f[j]-c)2
只要证dp[k]+(f[i]-f[k]-c)2+2v*(f[i]-f[k]-c)+v2 <= dp[j]+(f[i]-f[j]-c)2+2v*(f[i]-f[j]-c)+v2。
由于假设，所以只要证： 2v*(f[i]-f[k]-c)<=2v*(f[i]-f[j]-c)。
即证：f[k]>=f[j]（显然）
证明完毕
思路很明确，一直卡在二分上面，噗。
用一个队列来维护这些区间段，由于区间段必定是连在一起的，所以只需要记录左端点L以及更新这个区间的决策k。如果队列为空，则后面全部由i来更新得到，若非空，那么判断队尾的L，是否由i来更新会更优，若是，则pop掉队尾，继续同样的动作，直到队列为空或者i作为决策不如队尾的L更好，那么i可以更新的就是[L,n]之中的尾部区间[r,n]，而r可以用二分查找的方式。细节上很容易写挫，比如i决策可能完全都可以用武之地，不用二分去找了，否则会错；二分时必定要保证r由i来更新更佳，且有可能会出现等于的情况。复杂度O(nlogn)，斜率优化等再写。
1 //#include <bits/stdc++.h> 2 #include <iostream> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstring> 5 #include <cmath> 6 #include <set> 7 #include <deque> 8 #include <map> 9 #include <algorithm> 10 #include <vector> 11 #include <iostream> 12 #define pii pair<int,int> 13 #define back que[rear-1] 14 #define INF 0x7f7f7f7f 15 #define LL long long 16 #define ULL unsigned long long 17 using namespace std; 18 const double PI = acos(-1.0); 19 const int N=50100; 20 21 LL len[N], dp[N], L; 22 int q[N], d[N], n, l, r; //区间以及决策 23 LL cost(int j,int i) //用j来更新i的费用 24 { 25 return dp[j]+(len[i]-len[j]-L)*(len[i]-len[j]-L); 26 } 27 28 int find(int i,int k,int st) 29 { 30 int ll=st, rr=n; 31 while(ll<rr) 32 { 33 int mid=rr-(rr-ll+1)/2; 34 if( cost(i,mid)<cost(k,mid)) rr=mid; 35 else ll=mid+1; 36 } 37 return rr; 38 } 39 LL cal() 40 { 41 l=r=1; 42 d[1]=0;q[1]=1; //初始时，0可以更新[1,n] 43 for(int i=1; i<=n; i++) 44 { 45 dp[i]=cost(d[l], q[l]++); //q[l]永远等于i 46 if( l<r && q[l]==q[l+1] ) l++; 47 48 while( l<=r && cost(i,q[r])<cost(d[r],q[r]) ) r--; 49 if(l>r) //只能用i来更新 50 { 51 q[++r]=i+1; 52 d[r]=i; 53 } 54 else if( cost(i,n)<cost(d[r],n)) 55 { 56 int tmp=find(i, d[r], q[r]); 57 q[++r]=tmp; 58 d[r]=i; 59 } 60 } 61 return dp[n]; 62 } 63 64 int main() 65 { 66 //freopen("input.txt","r",stdin); 67 while(~scanf("%d%lld",&n,&L)) 68 { 69 L++;len[0]=0; 70 for(int i=1; i<=n; i++) 71 { 72 scanf("%lld",&len[i]); 73 len[i]+=len[i-1]; 74 } 75 for(int i=1; i<=n; i++) len[i]+=i; 76 printf("%lld\n", cal() ); 77 } 78 return 0; 79 }
