HDU 4352 XHXJ's LIS （数位DP，状压）

 

 

题意：

　　前面3/4的英文都是废话。将一个正整数看成字符串，给定一个k，问区间[L,R]中严格的LIS=k的数有多少个？

 

 

思路：

　　实在没有想到字符0~9最多才10种，况且也符合O(nlogn)求LIS的特点，所以用状态压缩可以解决。

　　看到状态压缩的字眼基本就会做了，增加一维来保存当前LIS的状态。由于求LIS时的辅助数组d[i]表示长度为i的LIS最后一个元素，d数组是严格递增的，所以好好利用d数组的特性来设计状态压缩才是关键。压缩的状态0101可以表示：仅有0和2在数组d中，即d[1]=0，d[2]=2的意思。状态的设计方法有多种。

 

 

 　　此题在考虑前导零问题时，逐个枚举位数，可以这样做是因为如果位数超过了1，则最后一个数位若为0是不会对结果构成影响的，因为最后的0都不会被考虑在LIS中。而对于那些个位数为0（或者说后缀0）会对结果产生影响的，最好是不要这样用了（例如spoj Balanced Numbers就不可以）。

 

 

#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <iostream>
#define pii pair<int,int>
#define INF 0x7f3f3f3f
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
using namespace std;
const double PI  = acos(-1.0);
const int N=20;

LL f[N][1<<11][11], bit[N];
//[位数][状态][k]

int insert(int s,bool flag,int pos) //修改状态
{
    for(int i=pos; i<=9&&flag; i++)   //找到第一位>=pos的，抹去
        if(s&(1<<i))
        {
            s^=(1<<i);
            break;
        }
    return s|(1<<pos);
}

int gethigh(int s)  //获取LIS最大元素，即d[len]。
{
    for(int i=9; i>=0; i--)    if(s&(1<<i))    return i;
    return -1;
}

LL dfs(int i,int up,int s,int k,bool e)
{
    //up为总位数，s为状态，k为仍需一段len=k的串来组成LIS=K的
    if(i==0)               return k==0;
    if(i<k)                return 0;    //剩下的位数已不够k个，不能组成LIS=k
    if(!e && ~f[i][s][k] ) return f[i][s][k];

    LL ans=0;
    int d= i==up? 1: 0;     //为了解决前缀0的情况,起始不为0
    int u= e? bit[i]: 9;

    int h=gethigh(s);       //LIS的最大元素
    for( ; d<=u; d++)
    {
        if(d>h) ans+=dfs(i-1,up,insert(s,0,d),k-1,e&&d==u);
        else    ans+=dfs(i-1,up,insert(s,1,d),k,e&&d==u);   //LIS长度不变
    }
    return e? ans: f[i][s][k]=ans;
}

LL cal(LL n,int k)
{
    if(n==0)    return 0;
    int len=0;
    while(n)    //拆数
    {
        bit[++len]=n%10;
        n/=10;
    }
    LL ans=0;
    for(int i=k; i<len; i++)    //为了解决前导0问题，逐个枚举
        ans+=dfs(i,i,0,k,false);
    if(len>=k)
        ans+=dfs(len,len,0,k,true);
    return ans;
}

int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    memset(f, -1, sizeof(f));
    LL L, R;int t, K, Case=0;
    cin>>t;
    while( t-- )
    {
        scanf("%lld%lld%d",&L,&R,&K);
        printf("Case #%d: %lld\n", ++Case, cal(R,K)-cal(L-1,K));
    }
    return 0;
}