HDU 5489 Removed Interval (LIS,变形)
题意:
给出一个n个元素的序列,要求从中删除任一段长度为L的连续子序列,问删除后的LIS是多少?(n<=10w, L<=n ,元素可能为负)
思路:
如果会O(nlogn)求普通LIS的算法,这道题将变得很简单。
首先按照求LIS的思路,当扫到元素a[i]并完成操作后,a[1->i]就是一段已经处理完成的序列,假设a[i+1]->a[i+L]这一段是将要删去的,那么将分成两段:a[0]->a[i]和a[i+L+1]->a[n]。
假设后一段以a[i+L+1]开头,而前段以一个小于a[i+L+1]的元素结尾,那么LIS应该为bac[前段]+len[后段]。
如何求bac[前段]?根据O(nlogn)求普通LIS的算法,当扫到a[i]且处理完的时候,就可以在当前d[]数组中找到a[i+L+1]应处的位置,用bac[i+L+1]标记起来其位置,知位置也就知其长度了。
如何求后段?当前段的bac[]数组全部求完时,按照O(nlogn)求普通LIS的算法,逆向再求一次此序列的LIS,当扫到a[j]时,求一下以a[j]开头的len[j]就行了。
其实就是枚举一个位置pos=i,然后删除其前面一段长度为L的子序列,分别求前段以a[i]结尾,求后段以a[i]开头的LIS。但是这样为什么是正确的?假设枚举到seq[i],后段中出现有LIS更长的,但是不是以seq[i]开头的怎么办?那么LIS更长的开头必定是一个seq[j]<seq[i],而你是从后面往前枚举的,以seq[j]开头的早就被你考虑过了。
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1 //#include <bits/stdc++.h> 2 #include <iostream> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstring> 5 #include <cmath> 6 #include <map> 7 #include <algorithm> 8 #include <vector> 9 #include <iostream> 10 #define pii pair<int,int> 11 #define INF 2147483647 12 #define LL unsigned long long 13 using namespace std; 14 const double PI = acos(-1.0); 15 const int N=100100; 16 const int mod=9901; 17 18 int a[N], p[N], bac[N]; 19 20 int cal(int n,int L) 21 { 22 if(L==n) return 0; 23 24 int len, ans; 25 p[len=1]=a[1]; 26 for(int i=2; i+L<=n; i++) 27 { 28 if(a[i+L]>p[len]) bac[i+L]=len; 29 else bac[i+L]=lower_bound(p+1,p+len+1,a[i+L])-p-1; 30 31 if(a[i]>p[len]) p[++len]=a[i]; 32 else *lower_bound(p+1,p+len+1,a[i])=a[i]; 33 } 34 ans=max(len, bac[n]+1); 35 memset(p,0x7f,sizeof(p)); //注意初始化 36 37 p[len=n]=a[n]; 38 for(int i=n-1; i>L; i--) 39 { 40 int big; 41 if(a[i]<p[len]) 42 { 43 p[--len]=a[i]; 44 big=n+1-len + bac[i]; 45 } 46 else 47 { 48 int pos=upper_bound(p+len,p+n+1,a[i])-p-1; //找到应插入的下标 49 p[pos]=a[i]; 50 big=n+1-pos + bac[i]; 51 } 52 ans=max(ans, big); 53 } 54 return ans; 55 } 56 57 int main() 58 { 59 //freopen("input.txt", "r", stdin); 60 int t, n, L, Case=0; 61 cin>>t; 62 while(t--) 63 { 64 memset(p,-1,sizeof(p)); //注意初始化 65 memset(bac,0,sizeof(bac)); 66 67 scanf("%d%d",&n,&L); 68 for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]); 69 printf("Case #%d: %d\n", ++Case, cal(n,L)); 70 } 71 }