POJ 1845 Sumdiv （数学，乘法逆元）

 

 

 

题意：

　　给出数字A和B，要求A^B的所有因子（包括A^B和1）之和 mod 9901 的结果。

 

思路：

　　即使知道公式也得推算一阵子。

　　很容易知道，先把分解得到，那么得到，那么的所有因子之和的表达式如下：

    　　

 

　　我们要做的就是计算出sum%9901的结果。

　　有两种方法：

　　（1）直接用快速幂计算对上面sum的第一步推算求结果，在计算过程中顺便取模。

　　（2）可以根据以下这条公式对上面sum的第二步推算求结果：

　　　　　

　　　　也是需要用到快速幂，过程也稍微复杂了些。注意 mb 可能会超过int。

 

 

 

　　以下是第二种方法的代码：

 

//#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <iostream>
#define pii pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL unsigned long long
using namespace std;
const double PI  = acos(-1.0);
const int N=10010;
const LL mod=9901;
bool isPrime[N];
LL p[N];       //素数表

int get_all_prime(int n)    //筛法求所有[0~n)素数，返回素数表大小
{
    memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));
    int cnt=0;
    for(int i=2; i<n; i++)
    {
        if(!isPrime[i])    continue;
        p[cnt++]=i;
        for(int j=i*i; j<n; j+=i)    isPrime[j]=0;
    }
    return cnt;
}

LL _mul(LL a,LL b,LL mod)   //a*b要用加法形式运算才不会溢出
{
    a%=mod;
    LL r=0;     //结果
    while( b )
    {
        if( b&1 )     r=(r+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return r;
}

LL pow(LL a,LL b,LL mod)    //快速幂函取模
{
    a%=mod;
    LL r=1;     //结果
    while( b )
    {
        if( b&1 )     r=_mul(r,a,mod);
        a=_mul(a,a,mod);
        b>>=1;
    }
    return r;
}

LL cal(LL A,LL B)
{
    LL ans=1;
    for(int i=0; p[i]*p[i]<=A; i++ )    //先求A的所有质因子
    {
        if(A%p[i]==0)
        {
            int cnt=0;
            while(A%p[i]==0)    //全部取光
            {
                cnt++;
                A/=p[i];
            }
            LL mb=mod*(p[i]-1);
            ans*=(pow(p[i], cnt*B+1, mb)+mb-1)%mb/(p[i]-1) ;  //要防止出现负数
            ans%=mod;
        }
    }


    if(A>1)
    {
        //如果没有把A成功分解，那么必定是个质数。
        //其实也可以写在上面那一步中，只是复杂度就会稍高了。
        LL mb=mod*(A-1);
        ans*=(pow(A, B+1, mb)+mb-1)%mb/(A-1) ;  //要防止出现负数
        ans%=mod;
    }

    return ans;
}

int main()
{
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    get_all_prime(N);
    int A, B;
    while(~scanf("%d%d",&A,&B))
        printf("%lld\n", cal(A,B) );
    return 0;
}