POJ 1741 Tree （树的分治，树的重心）
题意：给一棵树，n个节点，给定一个数k，求任意满足dist(a,b)<=k的点对的数量。
思路：
这道题的思路比较简单，但是细节很多。
此题可以用分治法，如何分治？
（1）如果path(a,b)不经过根，那么肯定在根的某棵子树下，递归解决。
（2）如果path(a,b)经过根，那么肯定在根的不同子树下，处理它。
怎样处理？如果知道了每棵子树中的节点到根的距离，暂且将每棵子树的节点分到每个独立的桶里。每个节点都可以和其他桶里的点组成点对，只要距离<=k的话就满足要求了。逐个算可能超时了，用个简单点的方法。在这里我们不需要知道节点是谁，只需要知道距离，所以将所有节点到根的距离取出来，排个序，用两个指针在线性复杂度就可以解决本节点下的点对统计了。
但是如何去重？因为所有子树中的节点全部都混着排序了，估计会有挺多对是在同棵子树下的节点被统计到了，这暂时不需要，这是要递归解决的，那么就要去掉这些同棵树下的点对。计算的方法都是一样的。
但是还有一种情况让你TLE，就是单链时的情况，若每次以孩子来递归下去解决，可能就不行了。但是可以发现到，计算这棵子树时，完全也不用经过根，那么不妨直接找出这棵子树中的重心作为根来解决这个子问题。复杂度主要是在排序的地方，用了找重心的方法可以保证每个点最多被排序2*logn次，所以总复杂度为O(nlog2n)。
如下图，红色点为重心，红色的线为虚拟边。左图是原树，右图是分治的过程。就像是每个重心隔开了一些子树一样。
有论文可以看。
1 //#include <bits/stdc++.h> 2 #include <vector> 3 #include <iostream> 4 #include <cstdio> 5 #include <algorithm> 6 #include <cstring> 7 #define pii pair<int,int> 8 #define INF 0x3f3f3f3f 9 #define LL long long 10 using namespace std; 11 const int N=10010; 12 int n, k, root, edge_cnt, ans, num, big, vis[N]; 13 vector<int> vect[N]; 14 struct node 15 { 16 int from,to,len; 17 node(){}; 18 node(int from,int to,int len):from(from),to(to),len 19 20 (len){}; 21 }edge[N*2]; 22 23 void add_edge(int from,int to,int len) 24 { 25 edge[edge_cnt]=node(from,to,len); 26 vect[from].push_back(edge_cnt++); 27 } 28 29 int get_size(int t,int far) 30 { 31 int cnt=1; 32 for(int i=0; i<vect[t].size(); i++) 33 { 34 node e=edge[vect[t][i]]; 35 if(e.to!=far&&!vis[e.to]) cnt+=get_size(e.to, t); 36 } 37 return cnt; 38 } 39 40 int get_root(int t,int far) //求重心:root。 41 { 42 int cur=0, sum=1; 43 for(int i=0; i<vect[t].size(); i++) 44 { 45 node e=edge[vect[t][i]]; 46 if( e.to!=far && !vis[e.to] ) 47 { 48 int tmp=get_root(e.to, t); 49 sum+=tmp; 50 cur=max(cur, tmp); 51 } 52 } 53 cur=max(cur, num-sum); 54 if(cur<big) big=cur, root=t; //更新root 55 return sum; 56 } 57 58 vector<int> seq; 59 void get_all(int t,int far,int len) //获取子树t的所有节点 60 { 61 seq.push_back(len); 62 if(len>=k) return ; //剪枝 63 for(int i=0; i<vect[t].size(); i++) 64 { 65 node e=edge[vect[t][i]]; 66 if( !vis[e.to] && e.to!=far ) get_all(e.to, t, len+e.len); 67 } 68 } 69 70 int cal(int t,int len) //计算子树t的内部点对。 71 { 72 seq.clear(); 73 get_all(t, 0, len); //将以t为根的整棵子树的len装进去seq 74 sort(seq.begin(), seq.end()); 75 int tmp=0, L=0, R=seq.size()-1; 76 while( L<R ) 77 { 78 if( seq[L]+seq[R]<=k ) tmp+=R-L,L++; 79 else R--; 80 } 81 return tmp; 82 } 83 84 void solve(int t) //主函数 85 { 86 vis[t]=1; 87 ans+=cal(t, 0); //计算子树t的答案 88 for(int i=0; i<vect[t].size(); i++) 89 { 90 node e=edge[vect[t][i]]; 91 if( !vis[e.to] ) 92 { 93 ans-=cal(e.to, e.len); //去重 94 big=INF;root=-1;num=get_size(e.to, -1); //用于找重心 95 get_root(e.to, -1); 96 solve(root); 97 } 98 } 99 } 100 101 102 void init() 103 { 104 for(int i=0; i<=n; i++)vect[i].clear(); 105 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 106 ans=edge_cnt=0; 107 } 108 109 int main() 110 { 111 //freopen("input.txt", "r", stdin); 112 int a,b,c; 113 while( scanf("%d%d",&n,&k), n+k ) 114 { 115 init(); 116 for(int i=1; i<n; i++) 117 { 118 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 119 add_edge(a,b,c); 120 add_edge(b,a,c); 121 } 122 num=n;big=INF;root=-1; //找重心用的。 123 get_root(1,-1); //找重心 124 solve( root ); 125 printf("%d\n", ans); 126 } 127 return 0; 128 }
