hihoCoder #1162 : 骨牌覆盖问题·三 （矩阵快速幂，DP）

 

 

 

题意：有一个k*n的棋盘，要求用1*2的骨牌来铺满，有多少种方案？（k<8，n<100000001）

 

 

思路：

　　由于k是比较小，但是又不那么小，可以专门构造这样的一个矩阵M，使得只要我们有一个初始矩阵R，求得ans矩阵，然后答案就在ans中了。ans=R*Mⁿ。

　　M的大小应该是2^k*2^k，所以当k稍微大一些就不合适存储这个矩阵了，而且里面大部分都是0，很浪费。由于k<8，所以M的大小为128*128是可以接受的。复杂度是O(2^3*k*logn)，大概是千万级别的。

 

 

 

#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;
const int N=21000;
const int mod=12357;
int k, n;
int M[130][130], grid[130][130], tot[130][130], cur[130][130];

void DFS(int x,int y,int col)   //构造矩阵M。
{
    if(col==k)
    {
        M[y][x]=1;              //表示y可以转移到x
        return ;
    }
    DFS(x<<1, (y<<1)+1, col+1);                      //不放
    DFS((x<<1)+1, y<<1, col+1);                      //放竖
    if(col+2<=k)    DFS((x<<2)+3, (y<<2)+3, col+2);  //放横
}

void mul(int A[][130],int B[][130])
{
    for(int i=0; i<(1<<k); i++)
    {
        for(int j=0; j<(1<<k); j++)
        {
            int tmp=0;
            for(int q=0; q<(1<<k); q++)
            {
                tmp+=A[i][q]*B[q][j];
                tmp%=mod;
            }
            grid[i][j]=tmp;
        }
    }
    memcpy(A, grid, sizeof(grid));
}


int cal(int t)  //注意t=n-1
{
    memset(M, 0, sizeof(M));
    memset(tot, 0, sizeof(tot) );
    memset(cur, 0, sizeof(cur) );
    DFS( 0, 0, 0);   //求矩阵。
    memcpy(cur, M, sizeof(M));
    while(t)
    {
        if(t&1) mul(M, cur);    //该位为1
        mul(cur, cur);  //矩阵自乘
        t>>=1;
    }
    return M[(1<<k)-1][(1<<k)-1];   //矩阵很特殊，只需要这一项。
}

int main()
{
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    while(~scanf("%d%d", &k, &n))    printf("%d\n", cal(n-1));
    return 0;
}