UVALive 5713 Qin Shi Huang's National Road System秦始皇修路（MST，最小瓶颈路）
题意：
秦始皇要在n个城市之间修路，而徐福声可以用法术位秦始皇免费修1条路，每个城市还有人口数，现要求徐福声所修之路的两城市的人口数之和A尽量大，而使n个城市互通需要修的路长B尽量短，从而使得A/B最大。问A/B最大是多少？（1000个城市）
思路：
老徐可免费修得1条路，那么剩下最多也只需要修n-2条路了，这n-2条路要尽量挑短的，而老徐的那条无所谓长短，只要两城人口尽量多即可。这是没有什么贪心策略的，因为老徐所修之路会影响MST的权值之和的大小。穷举所有城市对要O(n*n)，再求次MST需要O(n*n)，不可行。
换个思路，如果能先求得MST，然后穷举要老徐所要修的路，那么在加上老徐的路之后，必然会有个环的出现，这个环中有一条边是不需要的，当然不是老徐那条。这只需要在原MST中求这个环的最小瓶颈路就行了，将其删掉，加上老徐的路，构成新的MST了，进行求值。穷举老徐所要修的路也要O(n*n)，那么求瓶颈路就只能用O(1)了。这可以预处理出任意城市对之间的最小瓶颈路，O(n*n)而已。
任意点对的最小瓶颈路的求法：对原图求最小生成树，只留下树边，树中任意点对之间的路径就是该点对的最小瓶颈路。接着对树图进行DFS，在DFS过程中，顺便求出任意点对的最小瓶颈路，考虑求当前节点x到其他点的最小瓶颈路，设其父亲far，那么x可以通过far到达前面已经访问过的节点，为maxcost[已访问过的节点][far]与cost[far][x]其中的大者。按此思路，在DFS过程中可以求出任意点对的最小瓶颈路。
1 #include <bits/stdc++.h> 2 #include <cstdio> 3 #include <vector> 4 #include <iostream> 5 #include <algorithm> 6 #define INF 0x7f7f7f7f 7 #define pii pair<int,int> 8 #define LL long long 9 using namespace std; 10 const int N=1001000; 11 int a[N], b[N], seq[N]; //求MST用的 12 int x[N], y[N], p[N]; //所给的坐标及人口数 13 int pre[N], vis[N], used[N]; //求任意点对最小瓶颈路用的 14 double w[N], maxcost[1001][1001]; //两点间的最小瓶颈maxcost 15 vector<int> vect[N]; //建树时用 16 vector<int> dfn; //记录访问过的节点 17 18 int cmp(int a,int b){return w[a]<w[b];} 19 int find(int x){return pre[x]==x? x: pre[x]=find(pre[x]);} //并查集 20 double dis(int a,int b){return sqrt((x[a]-x[b])*(x[a]-x[b])+(y[a]-y[b])*(y[a]-y[b]));} 21 22 23 24 25 void DFS(int x) 26 { 27 dfn.push_back(x); //访问过 28 vis[x]=1; 29 for(int i=0; i<vect[x].size(); i++) 30 { 31 int t=vect[x][i]; 32 if(!vis[t] ) 33 { 34 for(int j=0; j<dfn.size(); j++) //对于所有已经访问过的节点 35 { 36 int from=dfn[j]; 37 maxcost[t][from]=maxcost[from][t]=max(maxcost[from][x], dis(x, t) );//通过x连到t 38 } 39 DFS(t); 40 } 41 } 42 } 43 44 void init(int n) //一堆初始化。 45 { 46 dfn.clear(); 47 for(int i=1; i<=n; i++) vect[i].clear(),pre[i]=i; 48 for(int i=1; i<=n; i++) 49 for(int j=1; j<=n; j++) 50 maxcost[i][j]=0.0; 51 memset(used, 0, sizeof(used)); 52 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 53 } 54 double cal(int n, int m) 55 { 56 init(n); 57 double sum=0.0; //MST 58 for(int i=0; i<m; i++) //kruscal求最小生成树 59 { 60 int u=find(a[seq[i]]); 61 int v=find(b[seq[i]]); 62 if( u!=v ) 63 { 64 pre[u]=v; //不是同个连通块，则连接。 65 vect[a[seq[i]]].push_back( b[seq[i]] ); //顺便建图，方便建树 66 vect[b[seq[i]]].push_back( a[seq[i]] ); 67 used[seq[i]]=1; 68 sum+=w[seq[i]]; 69 } 70 } 71 72 DFS(1); //求任意点对间的最小瓶颈路 73 double ans=0.0; 74 for(int i=0; i<m; i++) //穷举徐福声将要建的边。 75 { 76 double A=p[a[i]]+p[b[i]], B; 77 78 if(used[i]) B=sum-w[i]; //树上的边 79 else B=sum-maxcost[a[i]][b[i]]; 80 ans=max( A/B, ans ); 81 } 82 return ans; 83 } 84 85 86 int main() 87 { 88 freopen("input.txt", "r", stdin); 89 int t, n; 90 cin>>t; 91 while(t--) 92 { 93 cin>>n; 94 for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&p[i]); 95 int cnt=0; 96 for(int i=1; i<=n; i++) //求两点间的距离,共n*(n-1)/2条边 97 { 98 for(int j=i+1; j<=n; j++) 99 { 100 a[cnt]=i; 101 b[cnt]=j; 102 w[cnt]=dis(i,j); 103 seq[cnt]=cnt; //千万不要用seq[cnt]=cnt++;或者seq[cnt++]=cnt。 104 cnt++; 105 } 106 } 107 sort(seq, seq+cnt, cmp); //按边长排序 108 printf("%.2f\n", cal(n, cnt)); 109 } 110 111 return 0; 112 }
