POJ 1201 Intervals （差分约束，最短路）

 

 

 

题意：

　　有一个集合Z，其元素都是整整数，但是数量未知。现有n个约束，形如 [a,b]=c 表示整数区间[a,b]中有c个元素在Z中出现。问集合Z最小可能含多少个元素？

 

思路：

　　对于所给的区间 cnt[b-a]>=k这可以保证了该区间内个数不少于k。但是由于两边都是闭区间，所以要变cnt[b-(a-1)]>=k，表示b到a之间的个数。也就是说，转成式子是b-(a-1)>=k，变换一下为(a-1)-b<=-k，就满足常见的式子b-a<=k啦，可以建边b指向(a-1)，权值为-k。

　　但是还有没有其他的约束条件呢？如果我们只是这样建图，那很多个点都不会有联系的啊，比如[3,7]>=2和 [5,9]>=4，建边为2->7和4>9，完全不搭边啊！肯定还有其他联系，相邻的两个数字之间是否可以有边？可以的，至少可以满足a-(a-1)>=0吧？表示a只能被选与不被选。还有呢？每个点最多只能被选一次吧？则有a-(a-1)<=1。

　　综合3条式子，可以变形得到：

　　（1）(a-1)-b<=-k

　　（2）(a-1)-a<=0

　　（3）a-(a-1)<=1

　　都满足了常见的式子。那么可以建边了。这下每两个相邻数字就起码有两条边。注意：求的值是最小的，所以标准形式用<=号。

　　我们要求的是什么？满足要求的，整个区间所挑的最小个数。从最大数字出发，进行求最短路后，最小的数的那个点通常就会得到一个负权路径和啦,cost[最小]=负值。而cost[最小]取相反数就是答案了。记得开始前要将cost[起点]置为0。大概思路是这样，但是区间是[0,50000]，所以0-1时还会出现负数下标，可以将整个区间右移一位变成[1,50001]。

 

 

 

//#include <bits/stdc++.h>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
#include <iostream>
#include <deque>
#include <vector>
#define INF 0x7f7f7f7f
#define pii pair<int,int>
#define LL unsigned long long
using namespace std;
const int N=51010;
struct node
{
    int from,to,cost;
    node(){};
    node(int from,int to,int cost):from(from),to(to),cost(cost){};
}edge[N*4];
vector<int> vect[N];
int edge_cnt;

void add_node(int from,int to,int cost)
{
    edge[edge_cnt]=node(from,to,cost);
    vect[from].push_back(edge_cnt++);
}

bool inq[N];
int cost[N];
int spfa(int small,int big)
{
    memset(inq,  0, sizeof(inq));
    memset(cost, 0x7f, sizeof(cost));
    cost[big]=0;
    deque<int> que(1,big);

    while(!que.empty())
    {
        int x=que.front();que.pop_front();
        inq[x]=0;

        for(int i=0; i<vect[x].size(); i++)
        {
            node e=edge[vect[x][i]];
            if(cost[e.to]>cost[x]+e.cost)
            {
                cost[e.to]=cost[x]+e.cost;
                if(!inq[e.to])
                {
                    inq[e.to]=1;
                    if(!que.empty() && cost[e.to]<cost[que.front()])    que.push_front(e.to);
                    else    que.push_back(e.to);
                }
            }
        }
    }
    return -cost[small];
}

int main()
{
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    int n, m, a, b, c;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        edge_cnt=0;
        memset(edge,0,sizeof(edge));
        for(int i=0; i<N; i++)  vect[i].clear();
        int small=INF, big=0;

        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            add_node(b+1,a,-c);   //右移了1位

            small=min(small, a+1);
            big=max(big, b+1);
        }
        //每两个点之间的
        for(int i=small; i<=big; i++)
        {
            add_node(i-1, i, 1);
            add_node(i, i-1, 0);
        }
        cout<<spfa(small-1, big)<<endl;
    }
    return 0;
}