差分约束系统

本文转自：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/08/26/2153928.html

 

 

　　一直不知道差分约束是什么类型题目，最近在写最短路问题就顺带看了下，原来就是给出一些形如x-y<=b不等式的约束，问是否有解！

 

　　神奇的是这类问题竟然可以转换成图论里的最短路径问题，下面开始详细介绍下：

 

　　（1）比如给出三个不等式,b-a<=k1，c-b<=k2，c-a<=k3，若要求出c-a的最大值，我们可以把a,b,c转换成三个点，k1，k2，k3是边上的权，如图

　　由题我们可以得知，这个有向图中，由题b-a<=k1,c-b<=k2,得出c-a<=k1+k2,因此比较k1+k2和k3的大小，求出最小的就是c-a的最大值了。

　　根据以上的解法，我们可能会猜到求解过程实际就是求从a到c的最短路径，没错的....简单的说就是从a到c沿着某条路径后把所有权值和k求出就是c -a<=k的一个推广的不等式约束，既然这样，满足题目的肯定是最小的k，也就是从a到c最短距离...

 

　　理解了这里之后，想做题还是比较有困难的，因为题目需要变形一下，不能单纯的算..

　　（1）首先以poj3159为例,这个比较简单，就是给出两个点的最大差，然后让你求1到n的最大差，直接建图后用bellman或者spfa就可以过了。

　　（2）稍微难点的就是poj1364，因为他给出的不等式不是x-y<=k形式，有时候是大于号，这样需要我们去变形一下，并且给出的还是>,<没有等于，都要变形

　　（3）再有就是poj1201，他要求出的是最长距离，那就要把形式变换成x-y>=k的标准形式

 

注意点:

（1）需要充分挖掘出所有的约束条件，无论用的是什么符号，先全部列出来。再转成对应的标准差分不等式。

（2）转换技巧：如果只出现了小/大于号，则直接转成带等于号的，例如 x-y<k  转成 x-y<=k-1，反方向同理。如果只出现了等于号，则写成两条式子a-b<=c 和 a-b>=c。

（3）若求的是最大值，则标准形式为 a - b <= c ，然后建一条b 到a 的权值为c 的边，注意跑的却是最短路。 

（4）若求的是最小值，则标准形式为 a - b >= c ，然后建一条b 到a 的权值为c 的边，注意跑的却是最长路。

（5）出现冲突的情况：最好用spfa来跑比较好，存在负环的话就是无解，因为肯定有冲突。

（6）出现任意解的情况：求不出最短路（即dist[n]没有得到更新）就是任意解，因为并没有约束到最后一个位置上，则至少[n-1,n]可以无限。还有情况就是建完图后并不连通，类似于约束[2,8]和[3,7]会完全无交集，那么遍历不到所有边，有些约束就没有被考虑。有一些方法可以解决，比如跑最短路前先将所有点进队，或者考虑添加超级源点s，添加一些约束在相邻位置，比如[i,i+1]<=0等等，具体问题具体分析。

（7）一种建图的技巧： 
　　设x[i]是第i位置（或时刻）的值（跟所求值的属性一样），那么把x[i]看成数列，前n项和为s[n]，则x[i] = s[i] - s[i-1]；那么这样就可以最起码建立起类似这样的一个关系：0 <= s[i] - s[i-1] <= 1。比如每个位置可以放至多1个苹果，而限制条件是位置[2->5]至少有1个苹果，部分区间并未提及，但是仍需验证此差分约束系统是否有解，因为相邻的位置是有关系的，所以位置关系的条件就有用了。

 

这个博客也不错http://972169909-qq-com.iteye.com/blog/1185527