网络流的最大流

 

适合已经对网络流有一点想法但不是很清楚的人看。所有图均盗用别人的。

 

只需要知道的概念：

C[u][v]：从u到v这条边可以一次性通过的容量。

F[u][v]：从u到v这条边目前流过了多少的流量（即已经cut掉C[u][v]的多少了）。

 

下面可以开始看图了：

 

　　　　　　

　　假设上图是已经知道的一些容量的使用状况，可以看到从S出发已经流出4点流量了。可是图中还有路径可以继续增大从S出来的流量（你怎么知道？），且听我讲个故事（关于上图现况的由来）。

　　有一天老大带领一班马仔在S处为寻找建筑物t避难，但是苦于不知道一次可以去几人，怎么去，所以他只能“试试看”了。

　　于是老大看到眼前有条路写着只允许4人通过，且通过对应的人数后会封掉相应人数的路，除非有人回来，就可以恢复相应人数的道路。那么他派出4个小将出马，4人一块出发来到V1客栈歇息（S-V1路被封），商量下一步的路程该如何走更合适。其中一位小将看到有一条路V1-V2，但是路上写了只允许两人通过，且通过后就会封路。没办法，其中两位先出发了去到V2，很快，他们找到了t的所在，就停在了那里。那剩下的两位可如何是好？他们苦苦寻找它路（别忘了V1-V2这条路已经被封），在雾散后一眼就看到了建筑物t，于是他们直接往t奔去，同样，这条路是4人车道，过了两人，当然就封掉2条车道了。很好，他们4人皆完成了任务，果然不负众望。

　　接下来，老大又要想办法运输小弟过去了，因为没人会来，那么肯定是全部到达了。老大又看到一条路S-V2，好路，又可以送3人过去了，3人打包好行李出发。到了V2客栈时，“我勒个去，眼前V2-t的路被封了，V1-V2又是单行道，这可怎么办？是哪个兔崽子抢先了我们一步，难道就这样回去了？”。他们无路可走怎么办才好？

 

 

 

　　如果我们将实际不存在的反向边（不解释这玩意是什么了）给标出来的话，情况又会如何？ 请看详细报道：

　　　　　　

　　话说，在前4位小将走过之后，他们留下了如此的一番地图，可以看到刚才那3个人的小分组还没有出发。那就开始出发吧，同样，他们还是来到了V2客栈，“咦！！这次竟然有一条路？？？之前的好路竟然被占了，是哪个XXX干的？既然你不仁，我也不义，那就占别人的路，管他呢！！”  由于只能过2人，其中2人先赶紧出发，留下1个小伙子灰心丧气走回S去了（记得把路给恢复，可能还有人可以出发）。这2人最后肯定到达了t了。他们很不道德，这路不近他们，但是由于被占用了，所以只能占别人的路了。于是又可以画出“残余网络”图（自己画！！这么懒）。

　　画完发现从s 出发无论多少人，竟然没送走1个。说明没有增广路了。上边那个3人小分组的例子说明，路是可以互相占用的，只要有路。其实相当于他们只是走回了各自该走的路。所以V1-V2这条路被抵消了，其实是可以没人走过这条路的。由于增加了反边，使得他们最终走上了正途，正好流量也是最大的。注点是，每次增广只能找到1条路径，多条就有危险！

 

 　　那最小割是什么意思？

　　当增广路算法在最后一轮BFS时找不到任何路径到达终点时，已经进过队列的那些节点，就是一个集合S，剩下的节点是另一个集合T，那么S-T就是一个最小割。意思是，任意边u-v（u属于S，v属于T）的容量加起来就是最大流了。

 

 

 

 

 

图盗自 http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/21026445