无向图的双连通分量
先看如下的两个定义：
- 点-双连通图：一个连通的无向图内部没有割点，那么该图是点-双连通图。
注意：孤立点，以及两点一边这两种图都是点-双连通的，因为它们都是内部无割点。
- 边-双连通图：一个连通的无向图内部没有桥，那么该图就是边-双连通图。
注意：孤立点是边-双连通的，但是两点一边不是边-双连通的。
由上面定义可以知道：点-双连通图不一定是边-双连通的。
对于一张无向图，点-双连通的极大子图称为双连通分量。不难发现,每条边恰好属于一个双连通分量(所以两点一边是一个点-双连通分量)。但不同双连通分量可能会有公共点，可以证明不同双连通分量最多只有一个公共点，且它一定是割顶。另一方面任意割顶都是至少两个不同的点-双连通分量的公共点。
边-双连通的极大子图称为边-双连通分量。除了桥不属于任何边-双连通分量外，其他每条边恰好属于一个边-双连通分量，而且把所有桥删除之后,每个连通分量对应原图中的一个边-双连通分量。
总之:
判断一个图是不是点-双连通的只要看图中是否有割点。（比寻找割点多了个栈而已）
判断一个图是不是边-双连通的只要看图中是否有桥。
如果看到这里还有很多困惑，先画图思考矛盾的地方，然后看代码可以更清楚，前提是能看懂求割点的算法。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #include<queue> 5 #include<vector> 6 #include<stack> 7 using namespace std; 8 const int maxn=1000+10; 9 10 int n,m; 11 int bcc_cnt; 12 int dfs_clock; //bcc_cnt计数一共有多少个点-双连通分量 13 int pre[maxn]; //vis标记，同时也标记了是树中的第几个点 14 bool iscut[maxn]; 15 int bccno[maxn]; //bccno[i]=x表示第i个顶点属于x号点双连通分量 16 vector<int> G[maxn],bcc[maxn]; //bcc[i]中包含了i号点-双连通分量的所有节点 17 18 struct Edge //边的结构体 19 { 20 int u,v; 21 Edge(int u,int v):u(u),v(v){} 22 }; 23 stack<Edge> S; 24 25 int dfs(int u,int fa) 26 { 27 int lowu=pre[u]=++dfs_clock; 28 int child=0; 29 for(int i=0;i<G[u].size();i++) 30 { 31 int v=G[u][i]; //取出点 32 Edge e = Edge(u,v); //创建这条边 33 34 if(!pre[v]) //v没有被访问过 35 { 36 S.push(e); //将边入栈 37 child++; 38 int lowv=dfs(v,u); //求low先 39 lowu=min(lowu,lowv); 40 if(lowv >= pre[u]) //本节点是割点 41 { 42 iscut[u]=true; 43 bcc_cnt++; //注意bcc_cnt从1开始编号 44 bcc[bcc_cnt].clear(); //清除之前留下的 45 while(true) //产生一个双连通分量， 46 { 47 Edge x=S.top(); //逐次取出边 48 S.pop(); 49 //1个点可能属于多个连通分量，且它一定是割点。 50 if(bccno[x.u]!=bcc_cnt) //这个点还没有统计到这个连通分量。 51 { 52 bcc[bcc_cnt].push_back(x.u); 53 bccno[x.u]=bcc_cnt; //预防重复统计 54 } 55 if(bccno[x.v]!=bcc_cnt) 56 { 57 bcc[bcc_cnt].push_back(x.v); 58 bccno[x.v]=bcc_cnt; 59 } 60 if(x.u==u && x.v==v) //扫到u-v，栈中又没有与u相连的边了。继续试试其他孩子 61 break; 62 } 63 } 64 } 65 else if(pre[v]<pre[u]&&v!=fa) //点v在u上面就被访问过，才可以更新，在下面访问过的，不可以！ 66 { 67 S.push(e); //这个是和u在一起的双连通分量 68 lowu=min(lowu,pre[v]); 69 } 70 } 71 72 /* 73 根的孩子必须大于1才会是割点，有割点才会有双连通分量。 74 （1）那么如果根不是割点呢？ 75 假设根不是割点，那么根最多只有1个孩子，也就是说根的度为1，那么根不可能处于任何1个双连通分量中。 76 假设根是割点，那么每个孩子各自是一个连通分量。那么就会在上面的代码中被处理为一个双联通分量。 77 （2）如果有桥呢？比如u-v是桥，那么会怎样？ 78 假设u-v是桥，且u在数中的时间戳比较小。可知v也就是一个割点啦，u-v断开后，与v相连的都成为一个双连通分量了。 79 回溯到u时，栈中（或顶）没有包含u的边，直到另一个连通分量的产生。 80 如果u的孩子中没有连通分量了，那么与u相连的孩子肯定有边连到u的上边，他们又形成了一个环了，双连通分量又产生了，由其他割点去解决。 81 */ 82 if(fa<0 && child==1) iscut[u]=false; 83 return lowu; 84 } 85 86 void find_bcc(int n) 87 { 88 memset(pre,0,sizeof(pre)); 89 memset(iscut,0,sizeof(iscut)); 90 memset(bccno,0,sizeof(bccno)); 91 dfs_clock = bcc_cnt = 0; 92 for(int i=0;i<n;i++) //为了防止有多个连通图，全部都得搜 93 if(!pre[i]) dfs(i,-1); 94 } 95 int main() 96 { 97 while(scanf("%d%d",&n,&m)==2&&n) 98 { 99 for(int i=0;i<n;i++) G[i].clear(); //点集 100 for(int i=0;i<m;i++) //输入边 101 { 102 int u,v; 103 scanf("%d%d",&u,&v); 104 G[u].push_back(v); 105 G[v].push_back(u); 106 } 107 find_bcc(n); //计算双连通分量的个数 108 printf("点-双连通分量一共%d个\n",bcc_cnt); 109 110 111 112 for(int i=1;i<=bcc_cnt;i++) //输出每个双连通分量。可能点A在第一个双连通分量中输出，又出现在第2个双连通分量中，因为它是割点。 113 { 114 printf("第%d个点-双连通分量包含以下点:\n",i); 115 sort(&bcc[i][0],&bcc[i][0]+bcc[i].size()); //对vector排序,使输出的点从小到大 116 for(int j=0;j<bcc[i].size();j++) 117 { 118 printf("%d ",bcc[i][j]); 119 } 120 printf("\n"); 121 } 122 } 123 return 0; 124 } 125 126 带注释的源码
需要注意的是：
- 单个点不算是一个双连通分量，比如仅有1个点的图。
- 两个点一条边的子图算是一个双连通分量。比如:a-b-c 这个图中有两个双连通分量：a-b和b-c。
- 算法中已经考虑到根和叶子和非叶子节点，所以不用例外去添加代码。
- 根据需要可删减。比如可以不用vector来存储所有连通分量等等。
