HDU 4291 A Short problem 短问题 (递推,找规律)
题意:
给出递推式 g(n) = 3g(n - 1) + g(n - 2),且g(1) = 1,g(0) = 0。求g( g( g(n))) mod 109 + 7。
思路:
要求的g( g( g(n)))一共里外3层。看到时间限制1s,数据最大10^18,必定不能老实递推,要么有循环,要么用通项公式。这里用通项公式太麻烦了,数字不好算,而g(n)%109 + 7是有规律的, 在n=222222224之后会出现循环,也就是n=0和n=222222224的g(n)是一样的,这是最外层。那么也就是说在g(g(n))=222222224以上时g( g( g(n))) mod 109 + 7会出现循环了,那么g(g(n))应该模222222224再来代进去算。而g(n)%222222224是不是也会有循环的情况?确实,循环点是183120,那么g(n)的范围在0~183119就行了,即g(n)应该模183120。而g(n)%183120是不是还有循环?确实,循环点在240,也就是说n要模240。
到这已经分析完毕,将输入的n先模240,代入g(n),计算结果(注意要模的是183120)。将结果n再次代入g(n),计算结果(注意要模的是222222224)。将结果n再次代入g(n),计算结果(这次要模的是109 + 7)。这已经是结果。计算过程所用的递推式是一样的,只不过最后取模不一样而已。n%222222224仍然很大,用矩阵快速幂函就行了。
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1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define LL long long 3 using namespace std; 4 const LL mod1=1000000007; 5 const LL mod2=222222224; 6 const LL mod3=183120; 7 8 struct mar 9 { 10 LL a[4]; 11 }ta,b,t1; 12 13 mar mul(mar &a,mar &b,LL &mod) 14 { 15 mar t; 16 t.a[0]= (a.a[0]*b.a[0]%mod+ a.a[1]*b.a[2]%mod)%mod; 17 t.a[2]= (a.a[0]*b.a[1]%mod+ a.a[1]*b.a[3]%mod)%mod; 18 t.a[1]= (a.a[2]*b.a[0]%mod+ a.a[3]*b.a[2]%mod)%mod; 19 t.a[3]= (a.a[2]*b.a[1]%mod+ a.a[3]*b.a[3]%mod)%mod; 20 return t; 21 } 22 23 24 LL quick_pow(LL &n,LL mod) 25 { 26 n--; //只需要n-1个即可 27 b=ta; 28 t1.a[0]=t1.a[3]=1; t1.a[1]=t1.a[2]=0; 29 30 while(n>0) 31 { 32 if(n&1==1) t1=mul(t1,b,mod); 33 b=mul(b,b,mod); 34 n>>=1; 35 } 36 return t1.a[3]%mod; 37 } 38 int main() 39 { 40 41 ta.a[0]=0;ta.a[1]=1;ta.a[2]=1;ta.a[3]=3; 42 LL n; 43 //freopen("input.txt","r",stdin); 44 while(~scanf("%lld",&n)) 45 { 46 n%=240; 47 if(!n) 48 { 49 printf("0\n"); 50 continue; 51 } 52 n=quick_pow(n, mod3); 53 n=quick_pow(n, mod2); 54 n=quick_pow(n, mod1); 55 printf("%lld\n",n); 56 } 57 58 return 0; 59 }