0-1背包

 

01背包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包, 每种物品均只有一件第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。 

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,第i种物品最多有n[i]件可用。每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。 

比较三个题目,会发现不同点在于每种背包的数量,01背包是每种只有一件,完全背包是每种无限件,而多重背包是每种有限件。 

 

先来分析01背包: 

01背包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包,每种物品均只有一件。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 

这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。 

用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是: 

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}   

把这个过程理解下

在前i件物品放进容量v的背包时,它有两种情况:

情况一: 第i件不放进去,这时所得价值为:f[i-1][v]  (即同样的背包空间,不放第i件)

情况二: 第i件放进去,这时所得价值为:f[i-1][v-c[i]]+w[i]   (即背包先放下第i件,看剩多少空间,再来看看还可以放第1~i-1中的哪几件东西)

(第二种是什么意思?就是如果第i件放进去,那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品) 

最后比较第一种与第二种所得价值的大小,哪种相对大,f[i][v]的值就是哪种。  (这里是重点,理解!) 

 例子:

物品号i

1

2

3

4

5

6

体积C

2

3

1

4

6

5

价值W

5

6

5

1

19

7

 

 

 

 

 

假如背包能装的体积上限为10,求包中能装入的最大价值?

解:

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0

5

5

5

5

5

5

5

5

5

2

0

5

6

6

11

11

11

11

11

11

3

5

5

10

11

11

16

16

16

16

16

4

5

5

10

11

11

16

16

16

16

17

5

5

5

10

11

11

19

24

24

29

30

6

5

5

10

11

11

19

24

24

29

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第一行表示:当前可挑选的是前 i 件

第一列表示:当前背包的空间为V

步骤:这个表的得出顺序是,第一行从左到右,第二行从左到右....。(因为用的是二维数组,所以这里从右到左也行;若用一维数组,则要从左到右了,且依次下一行覆盖上一行)

举例:以f[5][10]为例

   它是这样得到的, f[5][10] = max{f[4][10],f[4][10-c[i]]+w[i]}  = max{f[4][10],f[4][10-6]+19} = max{f[4][10],f[4][4]+19} = max{17,11+19}=30。  上表第5行红色格子是由第4行两个红色格子得出的。

 

这里是用二维数组存储的,可以把空间优化,用一维数组存储。 

用f[0..v]表示,f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后,最后f[v]表示所求最大值。


这里f[v]就相当于二维数组的f[i][v]。那么,如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]?(重点!思考)

首先要知道,我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。

即:for i=1..N

现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值,而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值? 

逆序

这就是关键! 

1 for i=1..N 
2       for v=V..0 
3        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

为什么要逆序?

举例:f[3][5]是怎样得来的?

①按矩阵来保存的话,其靠的是f[2][5]和f[2][4],这一行在当i为2时已经得到,可以直接用。

②但是按一维数组来保存的话,当i为3时,从v=1~10计算出总价值后覆盖i=2时算出的一维数组,所以在算f[3][5]时,一维数组中v=1~4就已经更新了,5~10还未更新。再看回①,需要用到的f[2][5]还在一维数组中未被更新,而f[2][4]=6就被更新为11了,虽然f[3][5]最后的结果是一样的。但是如果你挑其他的就不一定会一样了,比如f[5][10]。

 

 

 
posted @ 2015-01-16 16:23  xcw0754  阅读(165)  评论(0编辑  收藏  举报