P3214 [HNOI2011] 卡农

整理下题目的三个条件：

• 选出的 \(m\) 个集合都不为空。
• 不存在完全相同的两个集合。
• 元素 \(1,2,\dots,n\) 在所有的集合出现的次数均为偶数。

首先，计算有序的集合是相对容易的，只需最后除以 \(m!\) 即可。

记 \(f_{i}\) 表示考虑前 \(i\) 个集合满足以上三个条件的方案数。

从条件 \(3\) 入手，不难发现倘若确定了前 \(i-1\) 个集合，那么要满足性质 \(3\)，第 \(i\) 个集合只有一种情况。

因此可以写出一个式子 \(A_{2^{n}-1}^{i-1}\)，它表示前 \(i - 1\) 个集合满足条件 \(1,2\)，前 \(i\) 个集合满足条件 \(3\) 的方案数。

这样做后存在一些非法情况，分别计算即可：

• 前 \(i - 1\) 个集合满足条件 \(1,2\)，第 \(i\) 个集合为空的方案数：由于第 \(i\) 个集合为空，那么前 \(i-1\) 个集合恰好满足条件 \(3\)，因此方案数为 \(f_{i-1}\)。
• 前 \(i - 1\) 个集合满足条件 \(1,2\)，第 \(i\) 个集合与前面的集合相同的方案数：由于前 \(i-1\) 个集合互不相同，不妨设记 \(j\) 表示第 \(i\) 个集合恰好与第 \(j\) 个集合相同。由于第 \(i\) 个集合与第 \(j\) 个集合相同，因此除去它们外恰好又满足条件 \(3\)，即为 \(f_{i-2}\)。第 \(i\) 个集合有 \(2^{n}-1-(i-2)\) 种选法（因为必须与那 \(i-2\) 个集合不同）。而 \(j\) 又有 \(i-1\) 种取值。因此最终方案数为 \(f_{i-2} \times (2^{n}-1-(i-2)) \times (i-1))\)。

因此得出 \(O(1)\) 递推式子：

\[f(i)=A_{2^{n}-1}^{i-1}-f_{i-1}-f_{i-2} \times (2^{n}-1-(i-2)) \times (i-1)) \]

\(A_{2^{n}-1}^{i-1}\) 可以直接预处理下降幂得到。因此时间复杂度为 \(O(n+m)\)。