斯特林数

第二类斯特林数

定义：

第二类斯特林数 \(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)，表示将 \(n\) 个两两不同的元素，划分为 \(k\) 个互不区分的非空子集的方案数量。

比如 \(\begin{Bmatrix} a_{1},a_{2},a_{3}\end{Bmatrix}\) 只能划分成 \(\begin{Bmatrix}a_{1}\end{Bmatrix}\), \(\begin{Bmatrix}a_{2},a_{3}\end{Bmatrix}\) 和 \(\begin{Bmatrix}a_{1},a_{2}\end{Bmatrix}\), \(\begin{Bmatrix}a_{3}\end{Bmatrix}\) 和 \(\begin{Bmatrix}a_{1},a_{3}\end{Bmatrix}\), \(\begin{Bmatrix}a_{2}\end{Bmatrix}\)。因此 \(S(3,2)=3\)。

递推式

\[h_{i,j}=h_{i-1,j-1}+j \times h_{i-1,j} \]

边界条件为 \(h_{0,0}=1\)。

考虑第 \(i\) 个元素是怎么来的，第一种是新建了一个集合，从 \(h_{i-1,j-1}\) 来。第二种是以前放在以前的 \(j\) 个集合里，因此是 \(j \times h_{i-1,j}\)。

通项公式

考虑二项式反演。

记 \(g(i)\) 表示将 \(n\) 个元素分成 \(i\) 个两两不同的集合的方案数（允许为空），\(f(i)\) 表示将 \(n\) 个元素分成 \(i\) 个两两不同的集合的方案数（不允许为空）。

显然 \(g(i)=i^n\)。

那么

\[\begin{aligned} f(i) &=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}C_{i}^{j}g(j) \\&=\sum_{j=0}^{i}\frac{(-1)^{i-j}i!j^{n}}{j!(i-j)!} \end{aligned} \]

由于第二类斯特林数不区分集合顺序，因此通项公式为：

\[S(n,k)=\sum_{i=0}^{k}\frac{(-1)^{k-i}i^{n}}{i!(k-i)!} \]

应用：

• \(x^n=\sum_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\underline{i}}\)（普通幂转下降幂）

证明：

考虑有 \(n\) 个小球丢进 \(x\) 个盒子里（允许空），枚举非空的 \(i\) 个盒子，即 \(\sum_{i=0}^{min(n,x)}C_{x}^{i}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i!\)。

整理一下得到原式。

• \(x^n=\sum_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}(-1)^{n-i}x^{\bar i}\)（普通幂转上升幂）

证明：

由于 \(x^{\bar i}=(-1)^i(-x)^{\underline i}\)，原式可化简为：

\[(-1)^{n}\sum_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}(-x)^{\bar i} \]

即 \((-1)^n(-x)^{n}\)。

第一类斯特林数

定义：

第一类斯特林数 \(\begin{bmatrix}n\\k \end{bmatrix}\)，表示将 \(n\) 个两两不同的元素，划分成 \(k\) 个互不区分的非空轮换的方案数。

递推式：

\[h_{i,j}=h_{i-1,j-1}+h_{i-1,j} \times (i-1) \]

边界条件 \(h_{0,0}=1\)，考虑第 \(i\) 个元素是怎么来的，第一种是新建了一个轮换，从 \(h_{i-1,j-1}\) 来。第二种是以前放在以前的 \(n-1\) 个数的后面，因此是 \((i-1) \times h_{i-1,j}\)。

应用：

• \(x^{\underline n}=\sum_{i=0}^{n} \begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i\)。（下降幂转普通幂）

证明：

考虑归纳法，\(n=1\) 时显然成立。

\[\begin{aligned} x^{\underline {n+1}} &=x^{\underline {n}} \times (x-n) \\&=(x-n) \times \sum_{i=0}^{n} \begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i \\&=\sum_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i-1 \end{bmatrix}(-1)^{n-i+1}x^i+n \times \sum_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}(-1)^{n-i+1}x^i \\&= \sum_{i=1}^{n+1}(\begin{bmatrix}n\\i-1 \end{bmatrix}+n \times \begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}) \times (-1)^{n-i+1}x^i \\&= \sum_{i=0}^{n+1} \begin{bmatrix}n+1\\i \end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i \end{aligned} \]

• \(x^{\bar n}=\sum_{i=0}^{n} \begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}x^i\)（上升幂转普通幂）。

证明：

由于 \(x^{\bar i}=(-1)^i(-x)^{\underline i}\)，原式可化简为：

\[\begin{aligned} x^{\bar n} &=(-1)^{n}(-x)^{\underline i} \\&= (-1)^{n}\sum_{i=0}^{n} \begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}(-1)^{n-i}(-x)^i \\&=\sum_{i=0}^{n} \begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}x^i \end{aligned} \]