test0102

圣诞决斗

题意：

今天是圣诞节，Clash 和 Royale 要在圣诞树上进行决斗。

圣诞树是一棵有个结点的树，其中每个结点都属于 Clash 或 Royale 中的一人。

现在 Clash 和 Royale 轮流进行操作，Clash 先手。操作者可以选择一个度数恰好为 \(1\) 的点，将该点以及与它相邻的边删除。在 \(n\) 次操作后，剩余点的主人获胜。

你需要回答：若二人均使用最优策略，谁会获胜。

分析：

分类讨论。

• \(n\) 为奇数，且重心为后手点。显然后手一定能使得任意时刻最大的子树小于等于其他的子树之和。那么后手必胜。
• \(n\) 为偶数，此时重心可能有两个。如果其中至少有一个先手点，那么先手删除另外一个子树的任意一个叶子，转化成情况 \(1\)，因此先手必胜。
• \(n\) 为偶数并且重心恰有 \(2\) 个，并且都是后手点，显然将所有点分成两部分，先手取一个，后手就取另外一个，因此后手必胜。
• \(n\) 为奇数且重心为先手点，可以把所有子树分成两类：该子树的根节点为先手点和该子树的根节点为后手点。如果此时两种子树都有，对于先手而言，肯定先选第二类；对于后手而言，肯定先选第一类。记两种子树的子树大小之和分别为 \(A,B\)，容易发现先手的获胜条件也 \(A \ge B\)，后手的必胜条件为 \(B<A\)。
• \(n\) 为偶数并且重心只有一个，且为后手点。容易发现这种情况与上种情况一样。

这题的核心思路是我知道你会这么想，所以我可以这样做。（滑稽

时间复杂度 \(O(Tn)\)。

哀

题意：

已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1. 将所有 \(i \mod k \in [l,r]\) 的 \(a_{i}\) 加上 \(x\)。
2. 求 \(\sum_{i=l}^{r}a_{i}\)。

分析：

简单小分块题。

显然根号分治，记 \(siz=\sqrt n\)。

• \(k \le siz\)，不妨维护一个数组 \(ans_{i,j}\) 表示所有模 \(i\) 为 \(j\) 的和，由于 \(i\) 很小，直接记个前缀和重构一下即可。

• \(k > siz\)，需要对 \(a_{ki+[l,r]}\) 加上 \(x\)，需要支持 \(O(1)\) 区间修改，\(O(\sqrt n)\) 查询，一个套路的思路是分块维护差分数组，再随便推推式子即可。

时间复杂度 \(O(q \sqrt n)\)。