P3426 [POI2005] SZA-Template 题解

题意：

给定一个字符串，求能盖出这个字符串的印章的最小长度。

分析：

显然，这个印章一定是 $s$ 的 border。

记 $dp_{i}$ 表示盖满前 $i$ 个的最小印章大小，那么答案只可能为 $i$，或者 $dp_{kmp_{i}}$。

证明如下：

• 显然答案为 $i$ 是整个字符串。
• 由于 $s$ 的 border 可以拆分成两部分，即 $t$ 的 border 与 $t$ 本身，$dp_{kmp_{i}}$ 均有。

现在只剩一个问题，什么时候 $dp_{i}=dp_{kmp_{i}}$ 成立呢？

对于两个相交的串 $A,B$，如果它们均能被 $t$ 盖出，那么 $A \cup B$ 一定能被 $t$ 盖出。因为印章只可能为 $A \cap B$，因此一定能盖出$A \cup B$。

由于 $dp_{kmp_{i}}$ 能盖出 $[1...kmp_{i}]$，那么它也一定能盖出 $[i-kmp_{i}+1,i]$，于是如果 $dp_{kmp_{i}}$ 最远能盖到 $i-kmp_{i}$ 及以后，那么就一定能盖完 $[1...i]$。

于是我们再记 $h_{i}$ 表示前缀 $i$ 作为印章时最远能盖到的位置，然后直接转移即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 500005
using namespace std;
int n;
int kmp[N], dp[N], h[N];
string s;
signed main() {
    cin >> s;
	n = s.length();
	s = " " + s;
    int j = 0;
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
		while(j && (s[j + 1] != s[i])) j = kmp[j];
		if(s[j + 1] == s[i]) j++;
		kmp[i] = j;
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		dp[i] = i;
		if(h[dp[kmp[i]]] >= i - kmp[i]) dp[i] = dp[kmp[i]];
		h[dp[i]] = i;
	}
    cout << dp[n];
	return 0;
}