[ARC111F] Do you like query problems?

题意：

给出三个数 $n,m,q$。

你有一个长度为 $n$ 的序列 $a$，初始全为为 $0$，你有三种操作：
操作 $1$：给出 $l,r,v$，让区间 $[l,r]$ 对 $v$ 取 $\min$。
操作 $2$：给出 $l,r,v$，让区间 $[l,r]$ 对 $v$ 取 $\max$。
操作 $3$，给出 $l,r$，求区间和，将其累加进一个叫 $sum$ 的变量里。

你并不需要维护这个数据结构，而是统计一共有 $q$ 个操作的情况下，所有不同的操作序列中 $3$ 操作得到的 $sum$ 的总和，对 $998244353$ 取模。你需要保证 $v\in[0,m-1]$。

分析：

显然的，输入的数据最多只可能有 $((2m+1) \times \frac{n \times (n+1)}{2})^q$ 种。

对于这种问题，可以通过计算期望使得计算更简便。

不妨考虑计算每个位置对答案的贡献。

记一个 $P(t,i)$ 表示经过 $t$ 次修改操作最后变成 $i$ 的概率。

考虑 dp 计算，如果要修改 $i$，能改变 $i$ 的只会是 $\min(i,x)(x<i)$ 以及 $\max(i,x)(x>i)$。

易得：

$$\begin{aligned} P(t,i) &=\frac{P(t-1,i) \times (n+1)+\sum_{j=0(j \ne i)}^{m} P(t-1,j)}{2 \times m} \\&=\frac{1}{2m}+\frac{P(t-1,i)}{2} \\&=\frac{1}{m}-\frac{1}{m \times 2^t}(i \ne 0) \end{aligned}$$

然后再记一个 $E(t)$ 表示一个数经过 $t$ 次修改得期望值。

$$\begin{aligned} E(t) &=\sum_{i=1}^{m-1}i \times P(t,i) \\&=(\frac{1}{m}-\frac{1}{m \times 2^t}) \times \frac{m \times (m-1)}{2} \\&=(1-\frac{1}{2^t})\frac{m-1}{2} \end{aligned}$$

但不可能每次操作 $[l,r]$ 都包含这个数吧（滑稽

因此需要记一个 $z_i$ 表示 $i$ 被包含得概率。显然 $z(i)=\frac{i \times (n-i+1)}{\frac{n \times (n+1)}{2}}$。

于是我们就把 $P(t,i)$ 升级到 $w(t,i)$ 表示 $i$ 经过 $t$ 次全局操作得期望值：

$$\begin{aligned} w(t,i) &= \sum_{j=0}^{t}C_{t}^{j} \times z_{i}^{j} \times (1-z_{i}^{t-j})E(t) \\&=\frac{m-1}{2}(1-(1-\frac{z_i}{2})^t) \end{aligned}$$

令 $T_i=1-\frac{w_i}{2}$。

$j$ 表示操作到 $i$ 头上得次数，最后一步用了二项式定理推导。

再加入一波修改操作 $g(t,i)$ 表示 $i$ 经过 $t$ 次操作（包含查询）的期望值：

$$g(t,i)=\frac{m-1}{2}(1-(\frac{2mT_i+1}{2m+1})^t)$$

那么最后 $x$ 的期望值为

$$\begin{aligned} E(x) &= \sum_{i=1}^{n} \frac{z_i}{2m+1}\sum_{j=1}^{q}g(j-1,i) \\&= \frac{z_i}{2m+1}\frac{m-1}{2}\sum_{j=1}^{q}(1-(\frac{2mT_i+1}{2m+1})^{j-1}) \end{aligned}$$

显然可以用等比数列求和快速计算。

最后答案就是

$$E(x) \times ((2m+1) \times \frac{n \times (n+1)}{2})^q$$

完结撒花！

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int Pow(int a, int n) {
	if(n == 0) return 1;
	if(n == 1) return a % mod;
	int x = Pow(a, n / 2);
	if(n % 2 == 0) return x * x % mod;
	else return x * x % mod * a % mod;
}
int read() {
	char ch = getchar(); int x = 0, f = 1;
	while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = x * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	return x * f;
}
void write(int x) {
	if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if(x > 9) write(x / 10);
	putchar('0' + x % 10);
}
int inv(int x) {
	return Pow(x, mod - 2);
}
int n, m, q, ans;
signed main() {
	cin >> n >> m >> q;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int p = i * (n - i + 1) % mod * inv((n + 1) * n / 2 % mod) % mod;
		int P = (1 - p * inv(2) % mod + mod) % mod;
		int z = (2 * m % mod * P % mod + 1) % mod * inv(2 * m + 1) % mod;
		int S = (Pow(z, q) - 1 + mod) % mod * inv(z - 1) % mod;	
		ans = (ans + p * inv(2 * m + 1) % mod * (m - 1) % mod * inv(2) % mod * ((q - S + mod) % mod) % mod) % mod;
	}
	cout << ans * Pow((2 * m + 1) % mod * n % mod * (n + 1) % mod * inv(2) % mod, q) % mod;
	return 0;
}