杜教筛学习笔记

积性函数

定义：对于 \(gcd(a,b)=1\)，满足 \(f(ab)=f(a)f(b)\) 的函数。

常用的积性函数：

• \(I(n) =1\)
• \(\epsilon(n) =[n==1]\)
• \(id(n)=n\)

狄利克雷卷积

对于两个数论函数 \(f,g\)，它们的狄利克雷卷积卷积是：

\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]

单位元：\(f*\epsilon = f\)。

性质：

• \(μ∗I=ϵ\)，因为 \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\)。
• \(φ∗I=id(n)\)，因为 \(\sum_{d|n}φ(d)=n\)。
• \(id∗μ=φ(n)\)。

杜教筛

如何求 \(f(i)\) 的前缀和呢？

狄利克雷卷积告诉我们，只需要构造一个积性函数 \(g(i)\)。

如果你能快速的求出 \(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\)，以及 \(\sum_{i=1}^{n}g(i)\)，就可以快速地求出 \(\sum_{i=1}^{n}f(i)\) 了。

记 \(\sum_{i=1}^{n}f(i)=S(n)\)。那么：

\[\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(i)g(\frac{i}{d})=\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}f(i) =\sum_{d=1}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})。 \]

可是我们要求 \(S(n)\) 耶，令 \(d=1\) 呗。

\[S(n)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S(\frac{n}{i})}{g(1)} \]

可以先线性筛出前 \(m\) 个答案，然后再用杜教筛。取 \(m =n^{\frac{2}{3}}\) 时最快。

欧拉函数

显然 \(f=\varphi,g=I,f*g=id\)。\(g\) 和 \(f*g\) 的前缀和都挺好求的。

int getphi(int n) {
	if(n <= N) return sum_phi[n];
	if(PHI[n]) return PHI[n];
	int res = n * (n + 1) / 2;
    for(int l = 2, r; l <= n; l = r + 1) {
    	r = n / (n / l);
    	res -= (r - l + 1) * getphi(n / l);
	}
	return PHI[n] = res;
}

莫比乌斯函数

显然 \(f=\mu,g=I,f*g=\epsilon\)

int getmul(int n) {
	if(n <= N) return sum_mul[n];
	if(MUL[n]) return MUL[n];
	int res = 1;
	for(int l = 2, r; l <= n; l = r + 1) {
		r = n / (n / l);
		res -= (r - l + 1) * getmul(n / l);
	}
	return MUL[n] = res;
}

例题：

P3768 简单的数学题

题意：

\[\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij \gcd(i,j)\right) \bmod p \]

分析：

使用 \(\varphi*I=id\) 解决。

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij \sum_{d|i,d|j} \varphi(d)=\sum_{d=1}^{n}\varphi(d)d^2\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}ij=\sum_{d=1}^{n}\varphi(d)d^2\frac{P^2(1+P)^2}{4} \]

其中 \(P=\frac{n}{d}\)，很明显可以用整除分块来求。

考虑前面 \(\sum_{d=1}^{n}\varphi(d)d^2\) 怎么求，于是可以套用杜教筛的形式。

令 \(f(d)=\varphi(d)d^2\)，\(g(d)=d^2\)。

那么

\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)d^2\frac{n^2}{d^2}=n^3 \]

\(g\) 的前缀和也很好求。

P3172 [CQOI2015] 选数

题意：

我们知道，从区间 \([L,H]\)（\(L\) 和 \(H\) 为整数）中选取 \(N\) 个整数，总共有 \((H-L+1)^N\) 种方案。小 z 很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的 \(N\) 个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小 z 会告诉你一个整数 \(K\)，你需要回答他最大公约数刚好为 \(K\) 的选取方案有多少个。

由于方案数较大，你只需要输出其除以 \(10^9+7\) 的余数即可。

分析：

令 \(L = \lceil \frac{L}{k} \rceil, R=\lfloor \frac{R}{k} \rfloor\)。

那么答案为

\[\sum_{a_1=L}^{R}\sum_{a_2=L}^{R}...\sum_{a_n=L}^{R}[gcd(a_1,a_2...a_n)==1] \]

套个莫比乌斯函数

\[\sum_{a_1=L}^{R}\sum_{a_2=L}^{R}...\sum_{a_n=L}^{R}\sum_{d|a_1,d|a_2...d|a_n}\mu(d) \]

把 \(d\) 放到前面去

\[\sum_{d=1}^{R}\mu(d)(\lfloor\frac{R}{d}\rfloor-\lfloor\frac{L-1}{d}\rfloor)^n \]

求 \([L,R]\) 里面被 \(d\) 整除的个数相当于 \([1,R]-[1,L-1]\)。

整除分块下就好了。