DP 优化

今天模拟赛考到了斜率优化，我发现去年暑假听得一知半解的知识点现在要彻底搞懂了。

本文我学到哪写到哪。

决策单调性优化

有些状态 $a$ 比 $b$ 总是要好（譬如花费更低而收益更高），那么 $b$ 状态可以丢掉。

斜率优化

参考资料：https://oi-wiki.org/dp/opt/slope

P3195 [HNOI2008] 玩具装箱

题意

有 $n$ 个玩具，第 $i$ 个玩具价值为 $c_i$ 。要求将这 $n$ 个玩具排成一排，分成若干段。对于一段 $[l,r]$ ，它的代价为 $(r-l+\sum _{i=l}^r{c}_i-L{)}^2$ 。其中 $L$ 是一个常量，求分段的最小代价。

$1\le n\le 5\times {10}^4,1\le L,c_i\le {10}^7$ 。

朴素 DP

$d{p}_i$ 表示考虑到第 $i$ 个物品，分若干段的最小代价。

容易推出：

$$d{p}_i=\underset{j<i}{min}\{d{p}_j+va{l}_{j+1,i}\}$$

$$va{l}_{l,r}=(r-l+\sum _{i=l}^r{c}_i-L{)}^2$$

前缀和优化

$$d{p}_i=\underset{j<i}{min}\{d{p}_j+va{l}_{j+1,i}\}$$

$$va{l}_{l,r}=(r-l+pr{e}_r+pr{e}_{l-1}-L{)}^2=(r+pr{e}_r-(l-1)-pr{e}_{l-1}-1-L{)}^2$$

为了简化式子，构造函数 $S_i=pr{e}_i+i$，并设 $L^{\prime }=L+1$

$$d{p}_i=\underset{j<i}{min}\{d{p}_j+(S_i-S_j-L^{\prime }{)}^2\}$$

这个样子已经基本可以确定是斜率优化了。但是我们进一步化简：

$$d{p}_i=\underset{j<i}{min}\{d{p}_j+S_j^2+2\cdot S_j\cdot (L^{\prime }-S_i)\}+(S_i-L^{\prime }{)}^2$$

斜率优化

我们要把转移方程转化成一次函数斜截式的形式。$\mathcal{OIwiki}$ 是这样说的：

考虑一次函数的斜截式 $y=kx+b$ ，将其移项得到 $b=y-kx$ 。我们将与 $j$ 有关的信息表示为 $y$ 的形式，把同时与 $i,j$ 有关的信息表示为 $kx$ ，把要最小化的信息（与 $i$ 有关的信息）表示为 $b$ ，也就是截距。

设

$$b=d{p}_i-(S_i-L^{\prime }{)}^2$$

$$y=d{p}_j+S_j^2$$

$$-k=2\cdot (L^{\prime }-S_i)$$

$$x=S_j$$

原方程表示为

$$b_i=\underset{j<i}{min}\{y_j-k_i\cdot x_j\}$$

接下来，我们考虑几何意义。

图片来源于 $\mathcal{OIwiki}。$

发现要求截距最小。所以我们要找到合适的 $j$。

我们每对一个 $i$ 求出最优转移点 $(x_j,y_j)$，先算出 $d{p}_i$，然后将求出的新点 $(x_i,y_i)$ 放入坐标系。

存在性质：

1. 只有下凸壳的点可能作为转移点。
2. $S_i$ 随 $i$ 单调递增，$k_i$ 随 $i$ 单调递增。

由性质得，可以用单调队列维护下凸壳（凸包上的转移点位置存在单调性）。

剩下的不必多说，这里偷懒放下 $\mathcal{OIwiki}$ 的解释。

将初始状态入队。
每次使用一条和 $i$ 相关的直线 $f(i)$ 去切维护的凸包，找到最优决策，更新 $d{p}_i$ 。
加入状态 $d{p}_i$ 。如果一个状态（即凸包上的一个点）在 $d{p}_i$ 加入后不再是凸包上的点，需要在 $d{p}_i$ 加入前将其剔除。